Optimización de áreas: Cuadrado y Triángulo

**a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor x que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo. (3 puntos)** Sea $x$ la longitud del lado del triángulo equilátero (en metros). Como un triángulo tiene 3 lados, la longitud de cable utilizada para el triángulo es $3x$. El cable total mide $240$ m, por lo que el cable restante para el cuadrado es: $$L_{cuadrado} = 240 - 3x$$ Si llamamos $y$ al lado del cuadrado, su perímetro es $4y$, por tanto: $$4y = 240 - 3x \implies y = \frac{240 - 3x}{4} = 60 - \frac{3}{4}x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con cables cortados, la suma de los perímetros de las figuras siempre debe ser igual a la longitud total del cable.

Calculamos el área de cada figura: 1. **Área del cuadrado ($A_c$):** $$A_c(x) = y^2 = \left(60 - \frac{3}{4}x\right)^2$$ 2. **Área del triángulo equilátero ($A_t$):** La altura $h$ de un triángulo equilátero de lado $x$ se halla por Pitágoras: $h = \sqrt{x^2 - (x/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$. $$A_t(x) = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$$ La función suma de las áreas $A(x)$ es: $$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \left(60 - \frac{3}{4}x\right)^2$$ Operando el binomio: $$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 3600 - 90x + \frac{9}{16}x^2$$ $$A(x) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{9}{16} \right)x^2 - 90x + 3600$$ ✅ **Resultado (Función de área):** $$\boxed{A(x) = \frac{4\sqrt{3} + 9}{16}x^2 - 90x + 3600}$$

**b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima. (7 puntos)** Para minimizar la función, calculamos su primera derivada respecto a $x$: $$A'(x) = 2 \cdot \left( \frac{4\sqrt{3} + 9}{16} \right)x - 90$$ $$A'(x) = \frac{4\sqrt{3} + 9}{8}x - 90$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{4\sqrt{3} + 9}{8}x - 90 = 0$$ $$(4\sqrt{3} + 9)x = 720$$ $$x = \frac{720}{4\sqrt{3} + 9}$$ Utilizando una calculadora para aproximar el valor: $$x \approx \frac{720}{6.928 + 9} = \frac{720}{15.928} \approx 45.203 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar máximos o mínimos, el primer paso es siempre derivar e igualar a cero.

Para comprobar que se trata de un mínimo, utilizamos la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{4\sqrt{3} + 9}{8}$$ Como $A''(x) > 0$ para cualquier valor de $x$, la función es siempre convexa (cóncava hacia arriba), lo que garantiza que el punto crítico hallado es un **mínimo absoluto**. También podemos ver el signo de la derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 45.2) & 45.2 & (45.2, 80)\\ \hline A'(x) & - & 0 & + \end{array} $$ Como la función decrece y luego crece, en $x \approx 45.2$ hay un mínimo.

El enunciado nos pide la **longitud del cable** para el triángulo, que es $L_t = 3x$: $$L_t = 3 \cdot \left( \frac{720}{4\sqrt{3} + 9} \right) = \frac{2160}{4\sqrt{3} + 9} \approx 135.61 \text{ metros}$$ Ahora calculamos el **área mínima** sustituyendo $x \approx 45.203$ en $A(x)$: $$A(45.203) = \frac{4\sqrt{3} + 9}{16}(45.203)^2 - 90(45.203) + 3600$$ $$A(45.203) \approx 0.9955(2043.31) - 4068.27 + 3600 \approx 2034.11 - 4068.27 + 3600 \approx 1565.84 \text{ m}^2$$ (Nota: Si se usa el valor exacto $x = \frac{720}{4\sqrt{3}+9}$, el área simplificada es $\frac{14400\sqrt{3} + 32400}{4\sqrt{3}+9}$ que se aproxima al mismo valor). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Longitud del cable del triángulo } \approx 135.61 \text{ m}}$$ $$\boxed{\text{Área mínima } \approx 1565.84 \text{ m}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "A(x) = \\frac{4\\sqrt{3} + 9}{16}x^2 - 90x + 3600", "color": "#2563eb" }, { "id": "p", "latex": "(45.203, 1565.84)", "showLabel": true, "label": "Mínimo" } ], "bounds": { "left": 0, "right": 80, "bottom": 1500, "top": 3700 } } }