Estudio completo de una función racional e integración

**a) El dominio y los puntos de corte con los ejes. (1 punto)** Para hallar el **dominio**, buscamos los valores de $x$ que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Por tanto, el dominio es todo $\mathbb{R}$ excepto estos dos puntos. **Puntos de corte:** 1. **Con el eje $Y$ ($x=0$):** $$f(0) = \frac{0^2+3}{0^2-4} = -\frac{3}{4}$$ El punto de corte es $(0, -0.75)$. 2. **Con el eje $X$ ($f(x)=0$):** $$\frac{x^2+3}{x^2-4} = 0 \implies x^2+3 = 0 \implies x^2 = -3$$ Como no existe raíz real para un número negativo, **no hay puntos de corte con el eje $X$**. 💡 **Tip:** Recuerda que en una función racional, los puntos fuera del dominio son los candidatos principales para ser asíntotas verticales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \quad ; \quad \text{Corte Y: } \left(0, -\frac{3}{4}\right) \quad ; \quad \text{Corte X: No hay}}$$

**b) Las asíntotas de la función. (2 puntos)** **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en los puntos excluidos del dominio, $x = 2$ y $x = -2$: - En $x = 2$: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2+3}{x^2-4} = \frac{7}{0} = \infty$. Por tanto, **$x=2$** es AV. - En $x = -2$: $\lim_{x \to -2} \frac{x^2+3}{x^2-4} = \frac{7}{0} = \infty$. Por tanto, **$x=-2$** es AV. **Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+3}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Existe una asíntota horizontal en **$y=1$**. **Asíntota Oblicua (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos sentidos ($\pm \infty$), **no existe asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la AH es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x=2, x=-2 \quad ; \quad \text{AH: } y=1 \quad ; \quad \text{AO: No hay}}$$

**c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos. (3 puntos)** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2+3)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 6x}{(x^2-4)^2} = \frac{-14x}{(x^2-4)^2}$$ Buscamos puntos críticos ($f'(x)=0$): $$-14x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $(-\infty, -2) \cup (-2, 0)$ - **Decrecimiento:** $(0, 2) \cup (2, +\infty)$ - **Máximo relativo:** En $x=0$, $f(0) = -3/4$. El punto es $(0, -0.75)$. No hay mínimos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \quad ; \quad \text{Decreciente: } (0, 2) \cup (2, +\infty) \quad ; \quad \text{Máximo: } (0, -3/4)}$$

Para comprender mejor el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2+3}{x^2-4}$, podemos observar sus asíntotas y su máximo relativo en la siguiente gráfica:

**d) La primitiva de la función $f(x)$. (4 puntos)** Debemos calcular la integral indefinida $I = \int \frac{x^2+3}{x^2-4} dx$. Como los grados son iguales, realizamos la división polinómica: $$\frac{x^2+3}{x^2-4} = 1 + \frac{7}{x^2-4}$$ Así, $I = \int 1 dx + \int \frac{7}{x^2-4} dx = x + \int \frac{7}{(x-2)(x+2)} dx$. Descomponemos en **fracciones simples**: $$\frac{7}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} \implies 7 = A(x+2) + B(x-2)$$ - Si $x = 2$: $7 = 4A \implies A = 7/4$ - Si $x = -2$: $7 = -4B \implies B = -7/4$ La integral queda: $$I = x + \frac{7}{4} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{7}{4} \int \frac{1}{x+2} dx$$ $$I = x + \frac{7}{4} \ln|x-2| - \frac{7}{4} \ln|x+2| + C$$ Utilizando propiedades de logaritmos: $$I = x + \frac{7}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones racionales donde el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, el primer paso es siempre la división de polinomios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = x + \frac{7}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C}$$