Geometría en el espacio: Posición relativa, simetría e intersección

**a) Calcular la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. (3 puntos)** Para estudiar la posición relativa de dos planos, lo más sencillo es comparar sus vectores normales. El plano $\pi_1$ está en su forma implícita $2x - y - z + 4 = 0$, por lo que su vector normal es directo a partir de sus coeficientes: $$\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$$ El plano $\pi_2$ está en paramétricas. Sus vectores directores son los coeficientes de los parámetros $\alpha$ y $\beta$: $$\vec{u}_2 = (1, 1, 1), \quad \vec{v}_2 = (0, 1, -1)$$ Calculamos el vector normal de $\pi_2$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_2 = \vec{u}_2 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_2 = [1 \cdot (-1) \vec{i} + 1 \cdot 0 \vec{j} + 1 \cdot 1 \vec{k}] - [0 \cdot 1 \vec{k} + 1 \cdot 1 \vec{i} + (-1) \cdot 1 \vec{j}]$$ $$\vec{n}_2 = (-\vec{i} + \vec{k}) - (\vec{i} - \vec{j}) = -2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (-2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $\vec{n}=(A,B,C)$.

Observamos la relación entre $\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (-2, 1, 1)$. Vemos que son proporcionales: $$\frac{2}{-2} = \frac{-1}{1} = \frac{-1}{1} = -1$$ Como los vectores normales son paralelos, los planos son **paralelos o coincidentes**. Para distinguir si son coincidentes, tomamos un punto de $\pi_2$, por ejemplo $Q(-1, 1, 0)$ (haciendo $\alpha=0, \beta=0$) y comprobamos si pertenece a $\pi_1$: $$2(-1) - (1) - (0) + 4 = -2 - 1 + 4 = 1 \neq 0$$ Como el punto de $\pi_2$ no satisface la ecuación de $\pi_1$, los planos son paralelos pero no iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son planos paralelos}}$$

**b) Calcular el punto $P'$ que es simétrico al punto $P = (1,0,0)$ respecto del plano $\pi_1$. (4 puntos)** Definimos una recta auxiliar $s$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi_1$. La dirección de esta recta será el vector normal de $\pi_1$, $\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$. Ecuaciones paramétricas de $s$: $$s: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar el simétrico de un punto respecto a un plano, primero calculamos la proyección ortogonal (el punto medio).

Hallamos el punto de intersección $M = s \cap \pi_1$ sustituyendo las expresiones de $s$ en la ecuación de $\pi_1$: $$2(1 + 2\lambda) - (-\lambda) - (-\lambda) + 4 = 0$$ $$2 + 4\lambda + \lambda + \lambda + 4 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $s$ para obtener las coordenadas de $M$: $$M = (1 + 2(-1), -(-1), -(-1)) = (-1, 1, 1)$$ $$\boxed{M(-1, 1, 1)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico buscado. Si $P' = (x', y', z')$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Operamos por componentes: $$x' = 2(-1) - 1 = -3$$ $$y' = 2(1) - 0 = 2$$ $$z' = 2(1) - 0 = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-3, 2, 2)}$$

**c) Calcular, si existe, el punto de intersección de $\pi_1$ y $r$. (3 puntos)** Expresamos la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{-1}$ en ecuaciones paramétricas igualando a un parámetro $t$: $$r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 - t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección recta-plano, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano.

Sustituimos $r$ en $\pi_1: 2x - y - z + 4 = 0$: $$2(1 + t) - (2t) - (2 - t) + 4 = 0$$ $$2 + 2t - 2t - 2 + t + 4 = 0$$ $$t + 4 = 0 \implies t = -4$$ Como hemos obtenido un único valor de $t$, existe un único punto de intersección. Calculamos sus coordenadas sustituyendo $t = -4$ en $r$: $$x = 1 + (-4) = -3$$ $$y = 2(-4) = -8$$ $$z = 2 - (-4) = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto de intersección es } I(-3, -8, 6)}$$