Posición relativa de dos rectas y determinación de una recta que pasa por el origen

**a) Indicar justificadamente la posición relativa de r y s. (5 puntos)** Primero, expresamos las rectas en forma paramétrica para identificar un punto y un vector director de cada una. Para ello, tomamos $z$ como parámetro (por ejemplo, $z = \lambda$ para $r$ y $z = \mu$ para $s$): Para $r$: $$\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \implies P_r(-1, 2, 0), \quad \vec{v}_r(1, -3, 1)$$ Para $s$: $$\begin{cases} x = 4 - 5\mu \\ y = -3 + 4\mu \\ z = \mu \end{cases} \implies P_s(4, -3, 0), \quad \vec{v}_s(-5, 4, 1)$$ 💡 **Tip:** Al estar las ecuaciones dadas en función de $z$, es directo obtener las paramétricas igualando $z$ al parámetro. Esto nos permite extraer el punto (términos independientes) y el vector (coeficientes del parámetro) rápidamente.

Analizamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comparando sus componentes: $$\frac{1}{-5} \neq \frac{-3}{4} \neq \frac{1}{1}$$ Como las componentes no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Por tanto, las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, calculamos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta, $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (4 - (-1), -3 - 2, 0 - 0) = (5, -5, 0)$$ Calculamos el determinante de la matriz $M' = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$\det(M') = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 5 \\ -3 & 4 & -5 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\det(M') = (0 + 25 - 15) - (20 - 5 + 0) = 10 - 15 = -5$$ Como $\det(M') \neq 0$, el rango de la matriz es 3.

Justificación según el estudio de rangos: - Rango de la matriz de vectores directores $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s)$ es **2** (no paralelos). - Rango de la matriz ampliada $M' = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$ es **3** (vectores linealmente independientes). Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Hallar la ecuación de la recta l que pasa por el origen y corta a r y s. (5 puntos)** Si la recta $l$ pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ y corta a $r$ y a $s$, debe estar contenida en dos planos auxiliares: 1. El plano $\pi_1$ definido por el punto $O$ y la recta $r$. 2. El plano $\pi_2$ definido por el punto $O$ y la recta $s$. La recta $l$ buscada será la intersección de estos dos planos: $l = \pi_1 \cap \pi_2$. 💡 **Tip:** Este es el método más eficiente para encontrar una recta que pasa por un punto y corta a otras dos que se cruzan. La recta solución es el lugar geométrico donde se encuentran los dos planos que contienen al punto y a cada una de las rectas dadas.

El plano $\pi_1$ pasa por $O(0, 0, 0)$ y contiene a $P_r(-1, 2, 0)$ y al vector $\vec{v}_r(1, -3, 1)$. Sus vectores directores pueden ser $\vec{v}_r$ y $\vec{OP_r} = (-1, 2, 0)$. $$\pi_1: \begin{vmatrix} x & y & z \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$x(2-0) - y(-1-0) + z(3-2) = 0$$ $$2x + y + z = 0$$ $$\boxed{\pi_1: 2x + y + z = 0}$$

El plano $\pi_2$ pasa por $O(0, 0, 0)$ y contiene a $P_s(4, -3, 0)$ y al vector $\vec{v}_s(-5, 4, 1)$. Sus vectores directores pueden ser $\vec{v}_s$ y $\vec{OP_s} = (4, -3, 0)$. $$\pi_2: \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & -3 & 0 \\ -5 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$x(-3-0) - y(4-0) + z(16-15) = 0$$ $$-3x - 4y + z = 0$$ $$\boxed{\pi_2: 3x + 4y - z = 0}$$

La recta $l$ viene dada por la intersección de ambos planos: $$l: \begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ 3x + 4y - z = 0 \end{cases}$$ Para dar la solución en una forma más común (paramétrica o continua), sumamos ambas ecuaciones para eliminar $z$: $$(2x + y + z) + (3x + 4y - z) = 0 \implies 5x + 5y = 0 \implies y = -x$$ Sustituyendo $y = -x$ en la primera ecuación: $$2x + (-x) + z = 0 \implies x + z = 0 \implies z = -x$$ Si llamamos $x = \lambda$, tenemos las ecuaciones paramétricas: $$l: \begin{cases} x = \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ O bien, en forma continua: $$\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{l: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1}}$$