Estudio de una matriz con parámetros: Rango, Inversa y Determinante

**a) El rango de la matriz A en función del parámetro real m. (4 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, comenzamos calculando su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & m-1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (m \cdot m^2 \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot 0) + ((m-1) \cdot (-2m) \cdot 2m) - [ (0 \cdot m^2 \cdot (m-1)) + (2m \cdot 1 \cdot m) + (1 \cdot (-2m) \cdot 0) ]$$ $$|A| = m^3 + 0 - 4m^2(m-1) - [ 0 + 2m^2 + 0 ]$$ $$|A| = m^3 - 4m^3 + 4m^2 - 2m^2 = -3m^3 + 2m^2$$ Factorizamos la expresión: $$|A| = m^2(2 - 3m)$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que reducen el rango: $$m^2(2 - 3m) = 0 \implies \begin{cases} m^2 = 0 \implies m = 0 \\ 2 - 3m = 0 \implies m = \frac{2}{3} \end{cases}$$ Analizamos los casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq \frac{2}{3}$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, la matriz es regular y su rango es máximo. $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, \frac{2}{3} \implies rg(A) = 3}$$

**Caso 2: $m = 0$** Sustituimos $m = 0$ en la matriz $A$: $$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Observamos que las dos primeras columnas son nulas. La tercera columna es distinta de cero, pero todas las filas son proporcionales o contienen solo un elemento no nulo en la misma columna. Cualquier menor de orden 2 será cero: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Como existe al menos un elemento distinto de cero (por ejemplo, $a_{13} = -1$), $$\boxed{\text{Si } m = 0 \implies rg(A) = 1}$$

**Caso 3: $m = \frac{2}{3}$** Sustituimos $m = \frac{2}{3}$ en la matriz $A$: $$A = \begin{bmatrix} 2/3 & 0 & -1/3 \\ -4/3 & 4/9 & 1 \\ 0 & 4/3 & 1 \end{bmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2/3 & 0 \\ -4/3 & 4/9 \end{vmatrix} = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{9}\right) - 0 = \frac{8}{27} \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, $$\boxed{\text{Si } m = \frac{2}{3} \implies rg(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Para agilizar el cálculo del rango, siempre intenta localizar el menor más sencillo (con ceros) para comprobar si es distinto de cero.

**b) La matriz inversa de A en el caso m = 2. (4 puntos)** Primero, calculamos el valor del determinante para $m = 2$ usando la fórmula hallada en el apartado anterior $|A| = m^2(2 - 3m)$: $$|A| = 2^2(2 - 3 \cdot 2) = 4(2 - 6) = 4(-4) = -16$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es inversible. La matriz para $m = 2$ es: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$ Calculamos la matriz traspuesta $A^T$: $$A^T = \begin{bmatrix} 2 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^T)$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A^T$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -4$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 + 4) = -6$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} = -16$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -8$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 8$ La matriz adjunta de la traspuesta es: $$\text{Adj}(A^T) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -4 \\ 4 & 2 & -6 \\ -16 & -8 & 8 \end{bmatrix}$$

Aplicamos la fórmula final: $$A^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{bmatrix} 0 & 4 & -4 \\ 4 & 2 & -6 \\ -16 & -8 & 8 \end{bmatrix}$$ Simplificamos dividiendo cada término por $-16$: $$\boxed{A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1/4 & 1/4 \\ -1/4 & -1/8 & 3/8 \\ 1 & 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}}$$

**c) El número real m para el cual el determinante de la matriz 2A es igual a -8. (2 puntos)** Aplicamos la propiedad de los determinantes: $\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$, donde $n$ es el orden de la matriz (en este caso $n = 3$): $$|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot |A|$$ Se nos indica que $|2A| = -8$, por lo que: $$8 \cdot |A| = -8 \implies |A| = -1$$ Sustituimos la expresión del determinante $|A| = -3m^3 + 2m^2$: $$-3m^3 + 2m^2 = -1 \implies 3m^3 - 2m^2 - 1 = 0$$ Probamos valores enteros (divisores de 1) para resolver la ecuación. Si $m = 1$: $$3(1)^3 - 2(1)^2 - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$$ Por tanto, $m = 1$ es una solución. Dividiendo por $(m-1)$ mediante Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 3 & -2 & 0 & -1 \\ 1 & & 3 & 1 & 1 \\\hline & 3 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda $(m-1)(3m^2 + m + 1) = 0$. El trinomio $3m^2 + m + 1 = 0$ no tiene raíces reales ya que su discriminante es $\Delta = 1^2 - 4(3)(1) = -11 < 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre que al multiplicar una matriz por un número escalar $k$, el determinante queda multiplicado por $k$ elevado a la dimensión de la matriz.