Matrices: Inversa, Ecuaciones Matriciales y Potencias

**a) Demostrar que $C - AB^T$ tiene inversa y calcularla. (4 puntos)** En primer lugar, necesitamos calcular la matriz transpuesta de $B$, $B^T$, y luego multiplicarla por $A$. Si $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, entonces su transpuesta (cambiando filas por columnas) es: $$B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $A \cdot B^T$: $$AB^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1)+1(1) & 1(0)+0(1)+1(0) \\ -1(1)+2(1)-1(1) & -1(0)+2(1)-1(0) \end{bmatrix}$$ $$AB^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz de dimensiones $(2 \times 3)$ por una $(3 \times 2)$, el resultado es una matriz cuadrada de $(2 \times 2)$.

Definimos $M = C - AB^T$ y operamos: $$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & 1-0 \\ 0-0 & -1-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$$ Para demostrar que tiene inversa, calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (0)(1) = 3$$ Como $|M| = 3 \neq 0$, la matriz **$C - AB^T$ tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada $M$ es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$).

Calculamos la inversa mediante la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $A_{11} = +(-3) = -3$ - $A_{12} = -(0) = 0$ - $A_{21} = -(1) = -1$ - $A_{22} = +(-1) = -1$ $$\text{Adj}(M) = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ 3. Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1/3 \\ 0 & -1/3 \end{bmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{(C-AB^T)^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{bmatrix}}$$

**b) Calcular la matriz X que verifica $CX = AB^T X + I$, donde I es la matriz identidad. (3 puntos)** Primero, despejamos la matriz $X$ agrupando los términos que la contienen en un lado de la igualdad: $$CX - AB^T X = I$$ Extraemos factor común $X$ por la derecha: $$(C - AB^T) X = I$$ Llamemos $M = C - AB^T$ como en el apartado anterior. Tenemos la ecuación: $$MX = I$$ Como sabemos que $M$ tiene inversa, multiplicamos por $M^{-1}$ por la izquierda en ambos lados: $$M^{-1} (MX) = M^{-1} I \implies (M^{-1} M) X = M^{-1} \implies I X = M^{-1} \implies X = M^{-1}$$ Por tanto, la matriz $X$ es precisamente la inversa calculada en el apartado a). 💡 **Tip:** Es fundamental extraer el factor común por el lado correcto (derecha o izquierda) ya que el producto de matrices no es conmutativo. ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{bmatrix}}$$

**c) Justificar que $(AB^T)^n = 2^n I$ para todo número natural n. (3 puntos)** En el apartado a) hemos calculado que: $$AB^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2I$$ Para calcular $(AB^T)^n$, elevamos la expresión resultante a $n$: $$(AB^T)^n = (2I)^n$$ Aplicando las propiedades de las potencias (un escalar por una matriz): $$(2I)^n = 2^n \cdot I^n$$ Sabemos que la matriz identidad $I$ elevada a cualquier número natural $n$ sigue siendo la matriz identidad ($I^n = I$): $$(AB^T)^n = 2^n I$$ Esto justifica la expresión para cualquier $n \in \mathbb{N}$. 💡 **Tip:** Para cualquier matriz escalar de la forma $kI$, se cumple que $(kI)^n = k^n I$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(AB^T)^n = 2^n I}$$