Optimización de un rectángulo bajo la curva

**a) Determinar el área del rectángulo en función de $x$. (3 puntos)** El punto $M$ está sobre la gráfica de la función $f(x) = e^{-x^2}$, por lo que sus coordenadas son $(x, e^{-x^2})$. Dado que el rectángulo está formado por los ejes de coordenadas y las rectas paralelas a estos que pasan por $M$: - La **base** del rectángulo es la distancia sobre el eje OX desde el origen hasta $x$, es decir, $b = x$. - La **altura** del rectángulo es la distancia sobre el eje OY desde el origen hasta $f(x)$, es decir, $h = e^{-x^2}$. El área $A$ de un rectángulo es el producto de su base por su altura: $$A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot e^{-x^2}$$ Como el enunciado especifica valores positivos de $x$, el dominio de nuestra función área será $x \in (0, +\infty)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre identifica primero las dimensiones (base y altura) en términos de la variable independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(x) = x e^{-x^2}, \quad x \gt 0}$$

**b) Encontrar el punto $M$ que proporciona mayor área y calcular esta área. (7 puntos)** Para encontrar el área máxima, debemos derivar la función $A(x) = x e^{-x^2}$ respecto a $x$ utilizando la regla del producto: $$A'(x) = (x)' \cdot e^{-x^2} + x \cdot (e^{-x^2})'$$ $$A'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x e^{-x^2})$$ $$A'(x) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2}$$ Factorizamos el término común $e^{-x^2}$: $$A'(x) = (1 - 2x^2) e^{-x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. Aquí $u(x) = -x^2$, por lo que su derivada es $-2x$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies (1 - 2x^2) e^{-x^2} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x^2}$ nunca es cero ($e^{-x^2} \gt 0$ para todo $x$), la única posibilidad es que el paréntesis sea cero: $$1 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Como el enunciado nos dice que $x$ toma valores positivos, descartamos la solución negativa y nos quedamos con: $$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Analizamos el signo de $A'(x)$ para confirmar que en $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ hay un máximo relativo. Dado que $e^{-x^2}$ siempre es positivo, el signo de $A'(x)$ depende únicamente del factor $(1 - 2x^2)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{1}{\sqrt{2}}) & \frac{1}{\sqrt{2}} & (\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty) \\ \hline 1 - 2x^2 & + & 0 & - \\ e^{-x^2} & + & + & + \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \text{Función } A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ y decrece después, existe un **máximo absoluto** en dicho punto. 💡 **Tip:** Es fundamental justificar por qué el punto hallado es un máximo, ya sea mediante la tabla de signos de la primera derivada o el signo de la segunda derivada.

Calculamos la ordenada del punto $M$ sustituyendo $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ en $f(x)$: $$y = f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$ Por tanto, el punto es $M = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$. Finalmente, calculamos el valor del área máxima sustituyendo en $A(x)$: $$A_{max} = A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$$ O de forma racionalizada: $$A_{max} = \frac{\sqrt{2e}}{2e}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \approx (0.707, 0.606)}$$ $$\boxed{\text{Área máxima} = \frac{1}{\sqrt{2e}} \approx 0.4289 \text{ unidades}^2}$$