Integral racional, regla de Barrow y cálculo de parámetros

**a) Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida: (5 puntos)** $$\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx.$$ Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Primero, factorizamos el denominador resolviendo la ecuación $x^2 - 5x - 14 = 0$: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-14)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2} \implies x_1 = 7, x_2 = -2$$ Por tanto, $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$. Descomponemos en fracciones simples: $$\frac{18}{(x - 7)(x + 2)} = \frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 2}$$ Multiplicando por el denominador común: $$18 = A(x + 2) + B(x - 7)$$ Para hallar los coeficientes $A$ y $B$, damos valores a $x$: - Si $x = 7 \implies 18 = A(9) \implies A = 2$ - Si $x = -2 \implies 18 = B(-9) \implies B = -2$ 💡 **Tip:** Para descomponer fracciones racionales, si las raíces del denominador son reales y distintas, siempre buscamos la forma $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Sustituimos la descomposición en la integral original: $$\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx = \int \left( \frac{2}{x - 7} - \frac{2}{x + 2} \right) dx$$ Separamos en dos integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$= 2 \int \frac{1}{x - 7} dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} dx = 2 \ln |x - 7| - 2 \ln |x + 2| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), podemos expresar el resultado de forma más compacta: $$2 (\ln |x - 7| - \ln |x + 2|) + C = 2 \ln \left| \frac{x - 7}{x + 2} \right| + C$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx = 2 \ln \left| \frac{x - 7}{x + 2} \right| + C}$$

**b) Determinar, en función de $t$, el valor $\int_{8}^{t} \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx. (2 puntos)$** Aplicamos la regla de Barrow utilizando la primitiva calculada en el apartado anterior: $$I(t) = \left[ 2 \ln \left| \frac{x - 7}{x + 2} \right| \right]_{8}^{t} = 2 \ln \left| \frac{t - 7}{t + 2} \right| - 2 \ln \left| \frac{8 - 7}{8 + 2} \right|$$ Evaluamos el segundo término: $$2 \ln \left| \frac{1}{10} \right| = 2 (\ln 1 - \ln 10) = 2 (0 - \ln 10) = -2 \ln 10$$ Sustituimos: $$I(t) = 2 \ln \left| \frac{t - 7}{t + 2} \right| - (-2 \ln 10) = 2 \ln \left| \frac{t - 7}{t + 2} \right| + 2 \ln 10$$ Como el enunciado nos dice que $t \gt 8$, entonces $\frac{t - 7}{t + 2}$ siempre es positivo, por lo que podemos quitar el valor absoluto: $$I(t) = 2 \left( \ln \frac{t - 7}{t + 2} + \ln 10 \right) = 2 \ln \left( \frac{10(t - 7)}{t + 2} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la Regla de Barrow: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\int_{8}^{t} \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx = 2 \ln \left( \frac{10t - 70}{t + 2} \right)}$$

**c) Determinar el valor de $t$ mayor que $8$ para que $\int_{8}^{t} \frac{18}{x^2 - 5x - 14} dx$ sea igual a $\ln \frac{25}{4}$. (3 puntos)** Igualamos el resultado del apartado b) al valor dado: $$2 \ln \left( \frac{10(t - 7)}{t + 2} \right) = \ln \frac{25}{4}$$ Introducimos el coeficiente $2$ dentro del logaritmo como exponente: $$\ln \left( \frac{10(t - 7)}{t + 2} \right)^2 = \ln \frac{25}{4}$$ Como la función logaritmo es inyectiva, igualamos los argumentos: $$\left( \frac{10(t - 7)}{t + 2} \right)^2 = \frac{25}{4}$$ Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados. Como sabemos que $t \gt 8$, el término dentro del paréntesis es positivo, por lo que tomamos la raíz positiva: $$\frac{10(t - 7)}{t + 2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$$ Resolvemos la ecuación para $t$: $$20(t - 7) = 5(t + 2)$$ $$20t - 140 = 5t + 10$$ $$15t = 150 \implies t = 10$$ Comprobamos que $t = 10$ es efectivamente mayor que $8$. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{t = 10}$$