Intersección recta-plano y área de un triángulo

**a) El punto de corte C entre el plano $\pi$ y la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por B. (5 puntos)** Para hallar el punto $C$, primero debemos determinar la ecuación de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ y pasa por el punto $B(3, 2, 3)$. El vector normal al plano $\pi: 2x + 2y + z = 3$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (2, 2, 1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (2, 2, 1)$$ Usando el punto $B(3, 2, 3)$ y el vector director, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, su vector director coincide con el vector normal del plano.

El punto $C$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$2(3 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (3 + \lambda) = 3$$ Desarrollamos la ecuación: $$6 + 4\lambda + 4 + 4\lambda + 3 + \lambda = 3$$ $$13 + 9\lambda = 3$$ $$9\lambda = 3 - 13$$ $$9\lambda = -10 \implies \lambda = -\frac{10}{9}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta para hallar las coordenadas de $C$: $$x = 3 + 2\left(-\frac{10}{9}\right) = 3 - \frac{20}{9} = \frac{27 - 20}{9} = \frac{7}{9}$$ $$y = 2 + 2\left(-\frac{10}{9}\right) = 2 - \frac{20}{9} = \frac{18 - 20}{9} = -\frac{2}{9}$$ $$z = 3 + \left(-\frac{10}{9}\right) = \frac{27 - 10}{9} = \frac{17}{9}$$ ✅ **Resultado (Punto C):** $$\boxed{C = \left( \frac{7}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{17}{9} \right)}$$

**b) El área del triángulo cuyos vértices son A, B y C. (5 puntos)** Para calcular el área del triángulo $ABC$, necesitamos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Datos: $A(2, 1, -2)$, $B(3, 2, 3)$ y $C\left( \frac{7}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{17}{9} \right)$. Vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (3-2, 2-1, 3-(-2)) = (1, 1, 5)$$ Vector $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = \left( \frac{7}{9} - 2, -\frac{2}{9} - 1, \frac{17}{9} - (-2) \right) = \left( \frac{7-18}{9}, \frac{-2-9}{9}, \frac{17+18}{9} \right) = \left( -\frac{11}{9}, -\frac{11}{9}, \frac{35}{9} \right)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula como $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 5 \\ -\frac{11}{9} & -\frac{11}{9} & \frac{35}{9} \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{i} \left( 1 \cdot \frac{35}{9} - 5 \cdot \left( -\frac{11}{9} \right) \right) - \vec{j} \left( 1 \cdot \frac{35}{9} - 5 \cdot \left( -\frac{11}{9} \right) \right) + \vec{k} \left( 1 \cdot \left( -\frac{11}{9} \right) - 1 \cdot \left( -\frac{11}{9} \right) \right)$$ $$\vec{i} \left( \frac{35}{9} + \frac{55}{9} \right) - \vec{j} \left( \frac{35}{9} + \frac{55}{9} \right) + \vec{k} (0)$$ $$\vec{i} \left( \frac{90}{9} \right) - \vec{j} \left( \frac{90}{9} \right) + 0\vec{k} = (10, -10, 0)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (10, -10, 0)}$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{10^2 + (-10)^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ El área del triángulo es la mitad de este módulo: $$Area = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ unidades}^2$$ Si aproximamos el valor: $$Area \approx 7,071 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{Area = 5\sqrt{2} \text{ u}^2}$$