Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A y B. (2 puntos)** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. 1. **Vector director de $r$ ($\vec{v}_r$):** Lo obtenemos mediante el vector que une los puntos $A$ y $B$. $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (0 - 2, 1 - 0, 0 - 0) = (-2, 1, 0)$$ 2. **Punto de la recta:** Usamos el punto $A(2, 0, 0)$. 3. **Ecuación de la recta:** Expresamos la recta en su forma continua. Dado que la componente $z$ del vector director es $0$, la recta se encuentra en el plano $z = 0$. 💡 **Tip:** Si una componente del vector director es cero, esa variable se mantiene constante en la ecuación de la recta (no se puede poner en el denominador de la forma continua estándar). $$\text{Recta } r: \begin{cases} \dfrac{x - 2}{-2} = \dfrac{y}{1} \\ z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \frac{x-2}{-2} = y, \quad z=0}$$

**b) Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. (4 puntos)** Para que un plano $\pi$ contenga a $s$ y sea paralelo a $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_s$ y $\vec{v}_r$). 1. **Elementos de la recta $s$:** De la ecuación $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{1}$, extraemos: - Punto $P_s = (1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (2, 3, 1)$ 2. **Vector director de $r$:** De la sección anterior, $\vec{v}_r = (-2, 1, 0)$. 3. **Cálculo del vector normal $\vec{n}_\pi$:** Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_s \times \vec{v}_r$ mediante un determinante: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 0 - 1 \cdot (-2)) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-2))$$ $$\vec{n}_\pi = -1\vec{i} - 2\vec{j} + 8\vec{k} = (-1, -2, 8)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores directores nos da un vector perpendicular a ambos, ideal para el vector normal de un plano paralelo a dos direcciones.

Con el vector normal $\vec{n}_\pi = (-1, -2, 8)$ y sabiendo que el plano contiene a $s$ (y por tanto contiene al punto $P_s(1, 1, 0)$), planteamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$-1(x - 1) - 2(y - 1) + 8(z - 0) = 0$$ Expandimos y simplificamos: $$-x + 1 - 2y + 2 + 8z = 0$$ $$-x - 2y + 8z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más estética: $$x + 2y - 8z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x + 2y - 8z - 3 = 0}$$

**c) Calcular la distancia del punto A a la recta s. (4 puntos)** La distancia de un punto $A$ a una recta $s$ que pasa por $P_s$ con vector director $\vec{v}_s$ se calcula con la fórmula: $$d(A, s) = \frac{|\vec{v}_s \times \vec{P_sA}|}{|\vec{v}_s|}$$ 1. **Punto $A$:** $(2, 0, 0)$. 2. **Punto $P_s$:** $(1, 1, 0)$. 3. **Vector $\vec{P_sA}$:** $$\vec{P_sA} = A - P_s = (2 - 1, 0 - 1, 0 - 0) = (1, -1, 0)$$ 4. **Vector director $\vec{v}_s$:** $(2, 3, 1)$.

1. **Cálculo de $\vec{v}_s \times \vec{P_sA}$:** $$\vec{v}_s \times \vec{P_sA} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{v}_s \times \vec{P_sA} = \vec{i}(3 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)$$ $$\vec{v}_s \times \vec{P_sA} = 1\vec{i} + 1\vec{j} - 5\vec{k} = (1, 1, -5)$$ 2. **Módulo del producto vectorial:** $$|\vec{v}_s \times \vec{P_sA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 3. **Módulo del vector director $|\vec{v}_s|$:** $$|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ 4. **Cálculo final de la distancia:** $$d(A, s) = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{27}{14}}$$ Racionalizando o simplificando: $$d(A, s) = \frac{\sqrt{27 \cdot 14}}{14} = \frac{\sqrt{378}}{14} = \frac{3\sqrt{42}}{14}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, s) = \sqrt{\frac{27}{14}} \approx 1.389 \text{ unidades}}$$