Inversa, potencias de matrices y determinantes

**a) Calcular los valores de los parámetros a y b para que se cumpla $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. (4 puntos)** Por definición de matriz inversa, se debe cumplir que $A \cdot A^{-1} = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. Planteamos el producto de ambas matrices: $$\begin{pmatrix} a + b & 1 \\ 0 & a - b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación de matrices elemento a elemento: 1. Fila 1, Columna 1: $(a+b) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = a + b$ 2. Fila 1, Columna 2: $(a+b) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -(a+b) + 1$ 3. Fila 2, Columna 1: $0 \cdot 1 + (a-b) \cdot 0 = 0$ 4. Fila 2, Columna 2: $0 \cdot (-1) + (a-b) \cdot 1 = a - b$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, se multiplica cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda.

Igualamos la matriz resultante a la matriz identidad para obtener las ecuaciones: $$\begin{pmatrix} a + b & -a - b + 1 \\ 0 & a - b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ De la igualdad de matrices obtenemos el siguiente sistema: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ -a - b + 1 = 0 \implies a + b = 1 \\ a - b = 1 \end{cases}$$ Como vemos, la primera y la segunda ecuación son equivalentes. Resolvemos el sistema formado por: 1) $a + b = 1$ 2) $a - b = 1$ Sumando ambas ecuaciones: $2a = 2 \implies a = 1$. Sustituyendo en la primera: $1 + b = 1 \implies b = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 0}$$

**b) Para los valores a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^3$ y $A^4$. (3 puntos)** Sustituimos $a = 1$ y $b = 0$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 1 \\ 0 & 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos primero $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 1\cdot 0 & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 0 & 1\cdot 1 + 2\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Siguiendo el patrón, calculamos $A^4$: $$A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de matrices triangulares con unos en la diagonal, la potencia $n$-ésima suele seguir una progresión aritmética en el elemento $a_{12}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) Calcular $\det(A^{-50})$ cuando $a^2 - b^2 \neq 0$. (3 puntos)** Primero, calculamos el determinante de la matriz $A$ general: $$\det(A) = \begin{vmatrix} a + b & 1 \\ 0 & a - b \end{vmatrix} = (a+b)(a-b) - (0 \cdot 1) = a^2 - b^2$$ Para calcular $\det(A^{-50})$, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. $\det(M^n) = (\det(M))^n$ 2. $\det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)}$ Por tanto: $$\det(A^{-50}) = (\det(A))^{-50} = \frac{1}{(\det(A))^{50}}$$ Sustituimos el valor de $\det(A)$: $$\det(A^{-50}) = \frac{1}{(a^2 - b^2)^{50}}$$ Como el enunciado indica que $a^2 - b^2 \neq 0$, la operación está bien definida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A^{-50}) = \frac{1}{(a^2 - b^2)^{50}}}$$