Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discutir el sistema en función del parámetro real $a$. (5 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 & \big| & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \big| & 1 \\ 1 & a & a-1 & \big| & a \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{vmatrix} = [a \cdot 0 \cdot (a-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot a] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 1 \cdot (a-1)]$$ $$|A| = [0 + 1 + 0] - [0 + a + a^2 - a] = 1 - a^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Analizamos el rango de las matrices según los valores de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -1$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango coincide con el número de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \big| & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son iguales ($F_1 = F_3$). Por tanto, el rango de $A$ y de $A^*$ será el mismo. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, tenemos que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = -1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & \big| & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \big| & 1 \\ 1 & -1 & -2 & \big| & -1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$. Veamos el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (0 + 1 - 1) - (0 + 1 - 1) = 0$$ Probamos con otro menor (columnas 2, 3 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 0 + 0) - (-1 - 2 + 0) = -1 + 3 = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1, -1: \text{SCD} \\ a = 1: \text{SCI} \\ a = -1: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible. (5 puntos)** Resolvemos primero para $a \neq 1$ y $a \neq -1$ usando la Regla de Cramer. Ya sabemos que $|A| = 1 - a^2$. Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & a & a-1 \end{vmatrix} = (0 + a + 0) - (0 + a + a - 1) = a - 2a + 1 = 1 - a$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{vmatrix} = (a^2 - a + 1 + 0) - (0 + a^2 + a - 1) = a^2 - a + 1 - a^2 - a + 1 = 2 - 2a = 2(1-a)$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & a \end{vmatrix} = (0 + 1 + a) - (0 + a^2 + a) = 1 - a^2$$ Las soluciones son: $$x = \frac{1-a}{1-a^2} = \frac{1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{1}{1+a}$$ $$y = \frac{2(1-a)}{1-a^2} = \frac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1+a}$$ $$z = \frac{1-a^2}{1-a^2} = 1$$ 💡 **Tip:** En la Regla de Cramer, simplifica las fracciones factorizando el denominador siempre que sea posible.

Para $a = 1$, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Sea $x = \lambda$: $$y = 1 - \lambda$$ $$z = 1 - \lambda$$ Por tanto, las soluciones para $a=1$ vienen dadas por: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (Soluciones):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq \pm 1: \left( \dfrac{1}{1+a}, \dfrac{2}{1+a}, 1 \right) \\ a = 1: (\lambda, 1-\lambda, 1-\lambda) \end{cases}}$$