Probabilidad y Estadística 2022 La Rioja
Cálculo de parámetros en la distribución normal
10.- (2 puntos) Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcula el valor de $a$ para que:
$$P(4 - a \le X \le 4 + a) = 0,5934.$$
(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)
Paso 1
Identificar la distribución y tipificar la variable
La variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ con media $\mu = 4$ y desviación típica $\sigma = 2$. Es decir, $X \sim N(4, 2)$.
Para poder utilizar la tabla de la normal estándar, debemos realizar un cambio de variable (tipificación) definiendo la variable $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 4}{2}$$
💡 **Tip:** La tipificación nos permite transformar cualquier distribución normal en una estándar $N(0, 1)$ para la cual disponemos de tablas de probabilidades.
$$\boxed{Z = \frac{X - 4}{2}}$$
Paso 2
Transformar el intervalo de probabilidad
Aplicamos la transformación de tipificación a los límites del intervalo en la probabilidad dada:
$$P(4 - a \le X \le 4 + a) = 0,5934$$
$$P\left(\frac{(4 - a) - 4}{2} \le \frac{X - 4}{2} \le \frac{(4 + a) - 4}{2}\right) = 0,5934$$
$$P\left(\frac{-a}{2} \le Z \le \frac{a}{2}\right) = 0,5934$$
Para simplificar la notación, llamemos $k = \frac{a}{2}$. La expresión queda como:
$$P(-k \le Z \le k) = 0,5934$$
💡 **Tip:** Restamos la media y dividimos por la desviación típica en todos los términos de la desigualdad para mantener la equivalencia.
Paso 3
Aplicar propiedades de simetría de la normal estándar
Utilizamos la propiedad de simetría de la campana de Gauss para intervalos centrados en el origen:
$$P(-k \le Z \le k) = P(Z \le k) - P(Z \le -k)$$
Como $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$, sustituimos:
$$P(-k \le Z \le k) = P(Z \le k) - [1 - P(Z \le k)] = 2P(Z \le k) - 1$$
Igualamos al valor de probabilidad proporcionado:
$$2P(Z \le k) - 1 = 0,5934$$
💡 **Tip:** Recuerda que en una normal estándar, el área entre $-k$ y $k$ es siempre $2P(Z \le k) - 1$.
Paso 4
Despejar y buscar en la tabla de la normal
Despejamos el valor de la probabilidad acumulada $P(Z \le k)$:
$$2P(Z \le k) = 1 + 0,5934$$
$$2P(Z \le k) = 1,5934$$
$$P(Z \le k) = \frac{1,5934}{2}$$
$$P(Z \le k) = 0,7967$$
Buscamos el valor $0,7967$ en el cuerpo de la tabla de la normal tipificada $N(0, 1)$ para encontrar el valor de la abscisa $k$. En la tabla observamos que:
$$P(Z \le 0,83) = 0,7967$$
Por lo tanto:
$$\boxed{k = 0,83}$$
Paso 5
Calcular el valor final de a
Recordando que definimos $k = \frac{a}{2}$, sustituimos el valor obtenido para hallar $a$:
$$0,83 = \frac{a}{2}$$
$$a = 0,83 \cdot 2$$
$$a = 1,66$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{a = 1,66}$$
Como comprobación visual, podemos observar la región de probabilidad en el siguiente gráfico interactivo:
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "f",
"latex": "f(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{2\\pi}}e^{-0.5\\left(\\frac{x-4}{2}\\right)^2}",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "a_val",
"latex": "a=1.66",
"color": "#111827"
},
{
"id": "reg",
"latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{4-a \\le x \\le 4+a\\}",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "label1",
"latex": "(4, 0.1)",
"label": "P = 0.5934",
"showLabel": true
}
],
"bounds": {
"left": -2,
"right": 10,
"bottom": -0.05,
"top": 0.25
}
}
}