Probabilidad y Estadística 2022 La Rioja
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Estudios Universitarios
9.- (2 puntos) En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el $20\%$ estudian Matemáticas, el $35\%$ Medicina y el $45\%$ Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del $5\%$, $12\%$ y del $18\%$. Se elige un alumno al azar.
Halla la probabilidad de que:
(i) finalice sus estudios;
(ii) estudie Medicina si no finaliza sus estudios.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en la elección de la carrera y en el hecho de finalizar o no los estudios.
Definimos los sucesos relativos a la carrera:
- $M$: El alumno estudia Matemáticas.
- $Me$: El alumno estudia Medicina.
- $A$: El alumno estudia Arquitectura.
Definimos los sucesos relativos a la finalización de estudios:
- $F$: El alumno finaliza sus estudios.
- $\bar{F}$: El alumno no finaliza sus estudios (suceso contrario).
Los datos del enunciado nos dan las probabilidades a priori y las probabilidades condicionadas:
- $P(M) = 0,20$
- $P(Me) = 0,35$
- $P(A) = 0,45$
- $P(F|M) = 0,05 \implies P(\bar{F}|M) = 0,95$
- $P(F|Me) = 0,12 \implies P(\bar{F}|Me) = 0,88$
- $P(F|A) = 0,18 \implies P(\bar{F}|A) = 0,82$
Representamos esta información en un diagrama de árbol:
💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la herramienta más eficaz en problemas de probabilidad compuesta para visualizar todos los caminos posibles y sus intersecciones.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de finalizar los estudios
**(i) finalice sus estudios;**
Para calcular la probabilidad de que un alumno elegido al azar finalice sus estudios ($P(F)$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso $F$ es la suma de las probabilidades de finalizar en cada una de las carreras posibles:
$$P(F) = P(M) \cdot P(F|M) + P(Me) \cdot P(F|Me) + P(A) \cdot P(F|A)$$
Sustituimos con los valores conocidos:
$$P(F) = 0,20 \cdot 0,05 + 0,35 \cdot 0,12 + 0,45 \cdot 0,18$$
$$P(F) = 0,01 + 0,042 + 0,081$$
$$P(F) = 0,133$$
💡 **Tip:** La probabilidad total es simplemente la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado ($F$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0,133}$$
(o equivalentemente, un $13,3\%$).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**(ii) estudie Medicina si no finaliza sus estudios.**
Se nos pide calcular la probabilidad de que el alumno estudie Medicina condicionada a que no haya finalizado sus estudios, es decir, $P(Me|\bar{F})$.
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(Me|\bar{F}) = \frac{P(Me \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$
Primero calculamos $P(\bar{F})$, que es la probabilidad del suceso contrario a finalizar los estudios:
$$P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0,133 = 0,867$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (estudiar Medicina y no finalizar):
$$P(Me \cap \bar{F}) = P(Me) \cdot P(\bar{F}|Me) = 0,35 \cdot 0,88 = 0,308$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(Me|\bar{F}) = \frac{0,308}{0,867} \approx 0,355248...$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(Me|\bar{F}) \approx 0,3552$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En los problemas de Bayes, el denominador siempre es la probabilidad total del suceso que ya sabemos que ha ocurrido.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Me|\bar{F}) \approx 0,3552}$$