Contención de una recta en un plano

**8.- (2 puntos) Determina los valores de los parámetros $a, y b$ para que el plano $\pi$ contenga a la recta $r$** Para que una recta $r$ esté contenida en un plano $\pi$ ($r \subset \pi$), deben cumplirse dos condiciones geométricas fundamentales: 1. El **vector director de la recta** $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al **vector normal del plano** $\vec{n}_\pi$. Esto asegura que la recta es, al menos, paralela al plano o está contenida en él. 2. Cualquier **punto de la recta** $P_r$ debe pertenecer al plano $\pi$. Si un punto de una recta paralela al plano está en el plano, toda la recta lo está. Alternativamente, podemos exigir que el sistema de tres ecuaciones (las dos de la recta y la del plano) tenga infinitas soluciones (rango de la matriz de coeficientes igual a 2). 💡 **Tip:** Si $r \subset \pi$, entonces la ecuación del plano $\pi$ debe ser una combinación lineal de las ecuaciones que definen la recta $r$.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{n}_2 = (-1, -2, 1)$$ Calculamos el determinante paso a paso por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 - (-2)) - \vec{j}(1 - (-1)) + \vec{k}(-2 - (-1))$$ $$\vec{v}_r = 3\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} = (3, -2, -1)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (3, -2, -1)}$$

Para encontrar un punto $P_r \in r$, asignamos un valor arbitrario a una de las variables en las ecuaciones de $r$. Sea $z = 0$: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ -x - 2y = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $x$: $x = -2y$. Sustituimos en la primera: $$-2y + y = 1 \implies -y = 1 \implies y = -1$$ Sustituyendo el valor de $y$: $$x = -2(-1) = 2$$ El punto obtenido es $P_r(2, -1, 0)$. 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier valor para $x, y$ o $z$ para hallar un punto, pero elegir $0$ suele simplificar los cálculos. $$\boxed{P_r(2, -1, 0)}$$

Imponemos la condición de perpendicularidad entre el vector director de la recta $\vec{v}_r = (3, -2, -1)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (a, 1, 1)$. Su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(3, -2, -1) \cdot (a, 1, 1) = 0$$ $$3a + (-2)(1) + (-1)(1) = 0$$ $$3a - 2 - 1 = 0$$ $$3a = 3 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 1}$$

Ahora imponemos que el punto $P_r(2, -1, 0)$ pertenezca al plano $\pi \equiv ax + y + z = b$. Como ya sabemos que $a = 1$, el plano es $x + y + z = b$. Sustituimos las coordenadas del punto: $$1 \cdot (2) + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (0) = b$$ $$2 - 1 + 0 = b$$ $$1 = b$$ ✅ **Resultado final:** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, los parámetros deben ser: $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$