Recta paralela a un plano por un punto

**7.- (2 puntos) Halla la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y que contenga al punto $P(1, 0, 1)$. ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.** Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Del enunciado, extraemos el vector normal del plano $\pi \equiv 1x + 1y + 1z = 0$: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Si llamamos $\vec{v}_r = (v_1, v_2, v_3)$ al vector director de la recta buscada, la condición de perpendicularidad se expresa mediante el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (v_1, v_2, v_3) \cdot (1, 1, 1) = 0$$ $$v_1 + v_2 + v_3 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $\vec{n}=(A,B,C)$.

Como el problema pide hallar **una** recta (no todas), basta con elegir cualquier vector $\vec{v}_r$ que cumpla la ecuación $v_1 + v_2 + v_3 = 0$. Por ejemplo, podemos tomar $v_1 = 1$, $v_2 = -1$ y $v_3 = 0$: $$1 + (-1) + 0 = 0 \quad \text{(se cumple)}$$ Así, nuestro vector director es $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$. Como la recta debe pasar por el punto $P(1, 0, 1)$, podemos escribir su ecuación en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} ; \quad z=1$$ ✅ **Resultado (una posible recta):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 \end{cases}}$$

**¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.** No, la recta **no es única**. Para que la recta sea paralela al plano y pase por $P$, su vector director solo debe cumplir la condición $v_1 + v_2 + v_3 = 0$. Esta es una ecuación con tres incógnitas y dos grados de libertad, lo que significa que existen infinitos vectores directores linealmente independientes (en realidad, todos los vectores contenidos en un plano paralelo a $\pi$ que pase por $P$). Geométricamente, existen infinitas rectas que pasan por $P$ y son paralelas a $\pi$. Todas estas rectas están contenidas en el plano $\pi'$ que es paralelo a $\pi$ y pasa por $P$. Podemos ver este concepto en el siguiente gráfico: ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No es única. Existen infinitas rectas paralelas al plano que pasan por } P.}$$