Cálculo de parámetros en un sistema de ecuaciones lineales

Para determinar los valores de $a, b$ y $c$, debemos partir de la base de que si $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es una solución del sistema, entonces al sustituir estos valores en las ecuaciones se deben cumplir las igualdades. Sustituimos $x = 1, y = 2, z = 3$ en cada ecuación: 1) $2a(1) + b(2) + 3 = 3c \implies 2a + 2b + 3 = 3c$ 2) $3(1) - 2b(2) - 2c(3) = a \implies 3 - 4b - 6c = a$ 3) $5a(1) - 2(2) + c(3) = -4b \implies 5a - 4 + 3c = -4b$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto es solución de un sistema si, al sustituir sus coordenadas en todas las ecuaciones, estas se convierten en identidades numéricas.

Ahora reordenamos las ecuaciones anteriores para obtener un nuevo sistema donde las incógnitas son los parámetros $a, b$ y $c$: $$\begin{cases} 2a + 2b - 3c = -3 \\ a + 4b + 6c = 3 \\ 5a + 4b + 3c = 4 \end{cases}$$ Este es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que resolveremos a continuación.

Podemos resolver el sistema por cualquier método (Gauss, Cramer o sustitución). Utilizaremos combinaciones lineales para reducir el número de incógnitas. Tomamos la segunda ecuación para despejar $a$: $$a = 3 - 4b - 6c$$ Sustituimos $a$ en la primera y tercera ecuación: - Para la primera: $$2(3 - 4b - 6c) + 2b - 3c = -3 \implies 6 - 8b - 12c + 2b - 3c = -3$$ $$-6b - 15c = -9 \implies 2b + 5c = 3 \quad [Eq. 4]$$ - Para la tercera: $$5(3 - 4b - 6c) + 4b + 3c = 4 \implies 15 - 20b - 30c + 4b + 3c = 4$$ $$-16b - 27c = -11 \implies 16b + 27c = 11 \quad [Eq. 5]$$ Ahora resolvemos el sistema formado por $[Eq. 4]$ y $[Eq. 5]$: $$\begin{cases} 2b + 5c = 3 \\ 16b + 27c = 11 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-8$ y sumamos: $$-16b - 40c = -24$$ $$16b + 27c = 11$$ $$\overline{\quad\quad -13c = -13} \implies \mathbf{c = 1}$$ Sustituimos $c=1$ en la $[Eq. 4]$: $$2b + 5(1) = 3 \implies 2b = -2 \implies \mathbf{b = -1}$$ Finalmente, calculamos $a$: $$a = 3 - 4(-1) - 6(1) = 3 + 4 - 6 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados finales sustituyéndolos en el sistema original para verificar que no ha habido errores de cálculo.

Tras resolver el sistema de ecuaciones para los parámetros, hemos obtenido los valores que hacen que el punto dado sea solución del sistema original. Los valores de los parámetros son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1, \quad c = 1}$$