Invertibilidad de productos matriciales y ecuaciones matriciales

**(i) Determina para que valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa.** Primero, calculamos el producto de las matrices $A$ y $B$. Como $A$ es una matriz de dimensiones $2 \times 3$ y $B$ es de $3 \times 2$, el resultado será una matriz cuadrada de orden $2$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot 0 + a\cdot 1 + 2\cdot 3) & (1\cdot a + a\cdot 1 + 2\cdot 2) \\ (0\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 3) & (0\cdot a + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 2) \end{pmatrix}$$ Operando cada elemento: $$AB = \begin{pmatrix} a + 6 & 2a + 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $AB$: $$\det(AB) = \begin{vmatrix} a + 6 & 2a + 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (a + 6) \cdot 1 - 2 \cdot (2a + 4)$$ Desarrollamos la expresión: $$\det(AB) = a + 6 - 4a - 8 = -3a - 2$$ Para que exista la inversa, imponemos que el determinante no sea nulo: $$-3a - 2 \neq 0 \implies -3a \neq 2 \implies a \neq -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } AB \text{ tiene inversa para cualquier valor } a \in \mathbb{R} \setminus \{-2/3\}}$$

**(ii) Resuelve para $a = 0$ la ecuación matricial $ABX = 3I$, siendo $I$ la matriz identidad.** Para $a = 0$, sustituimos en la matriz obtenida anteriormente: $$AB = \begin{pmatrix} 0 + 6 & 2(0) + 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $0 \neq -2/3$, sabemos por el apartado anterior que $AB$ es invertible. La ecuación matricial es: $$(AB)X = 3I$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $(AB)^{-1}$ en ambos miembros: $$(AB)^{-1}(AB)X = (AB)^{-1}3I \implies IX = 3(AB)^{-1} \implies X = 3(AB)^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por la inversa por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos $(AB)^{-1}$ para $a=0$. Sabemos que $\det(AB) = -3(0) - 2 = -2$. Utilizamos la fórmula $(AB)^{-1} = \frac{1}{\det(AB)} \text{Adj}(AB)^t$. 1. Matriz de adjuntos (cofactores): - $Adj_{11} = 1$ - $Adj_{12} = -2$ - $Adj_{21} = -4$ - $Adj_{22} = 6$ Matriz adjunta: $Adj(AB) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ 2. Matriz adjunta traspuesta: $$Adj(AB)^t = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$(AB)^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede hallar rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando la inversa por el escalar $3$: $$X = 3 \cdot (AB)^{-1} = 3 \cdot \begin{pmatrix} -1/2 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/2 & 6 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$$ Comprobamos que las dimensiones son coherentes: $AB$ es $2 \times 2$, por lo que $X$ debe ser $2 \times 2$ para que el resultado sea la identidad $I$ (también $2 \times 2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3/2 & 6 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}}$$