Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

Para estudiar el sistema, lo escribimos en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ a & a & 1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & a \\ a & a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la **regla de Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ a & a & 1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot a \cdot a) - (1 \cdot a \cdot a) - (a \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot 1)$$ $$|A| = a + 1 + a^3 - a^2 - a - a = a^3 - a^2 - a + 1$$ Para hallar las raíces, factorizamos por grupos o mediante Ruffini: $$a^2(a - 1) - (a - 1) = (a^2 - 1)(a - 1) = (a + 1)(a - 1)(a - 1) = (a + 1)(a - 1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A| = 0 \implies (a + 1)(a - 1)^2 = 0 \implies a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes es la clave para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para los distintos valores de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -1$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que el rango de $A$ es $3$. Como el rango de la ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Todas las filas son idénticas, por lo que $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 1$. Como el rango es menor que el número de incógnitas ($1 \lt 3$): El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $a = -1$** Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que $F_2 = -F_1$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la fila 2 es proporcional a la 1 también en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser menor que 3: El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resumen discusión:** $$\boxed{\text{Si } a \neq \pm 1: \text{SCD}; \quad \text{Si } a = 1: \text{SCI}; \quad \text{Si } a = -1: \text{SCI}}$$

Para el caso **SCD**, utilizamos la **Regla de Cramer**: Ya sabemos que $|A| = a^3 - a^2 - a + 1 = (a-1)^2(a+1)$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & a & 1 \end{vmatrix} = a^2+a+a^2 - (a^3+a^2+1) = -a^3+a^2+a-1 = -|A| \implies x = \frac{-|A|}{|A|} = -1$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = 1+a+a^3 - (a+a+a^2) = a^3-a^2-a+1 = |A| \implies y = \frac{|A|}{|A|} = 1$$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ a & a & 1 \\ 1 & a & a \end{vmatrix} = a^2+1+a^3 - (a^2+a+a^2) = a^3-a^2-a+1 = |A| \implies z = \frac{|A|}{|A|} = 1$$ 💡 **Tip:** Observa que los determinantes de las incógnitas a menudo se simplifican con el determinante principal en ejercicios de parámetros. ✅ **Resultado SCD:** $$\boxed{(x, y, z) = (-1, 1, 1)}$$

Cuando $a = 1$, las tres ecuaciones del sistema original se reducen a una sola: $$x + y + z = 1$$ Para resolverlo, tomamos dos parámetros libres. Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ ✅ **Resultado SCI (a = 1):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

Cuando $a = -1$, el sistema es: $$\begin{cases} x + y - z = -1 \\ -x - y + z = 1 \\ x - y + z = -1 \end{cases}$$ La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-1$, por lo que la eliminamos. Nos queda el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad x + y - z = -1 \\ (2) \quad x - y + z = -1 \end{cases}$$ Sumamos las dos ecuaciones $(1) + (2)$: $$(x + y - z) + (x - y + z) = -1 - 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$$ Sustituimos $x = -1$ en la ecuación (1): $$-1 + y - z = -1 \implies y - z = 0 \implies y = z$$ Si llamamos $z = \lambda$: ✅ **Resultado SCI (a = -1):** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$