Cálculo de límites con parámetros

**(i) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)) = 2$.** Primero, evaluamos el límite para observar su comportamiento: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{9x^2 + ax + 1} = +\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} (3x - 1) = +\infty$$ Esto nos presenta una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. Para resolverla cuando aparecen raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada. 💡 **Tip:** El conjugado de $(A - B)$ es $(A + B)$, y se utiliza para aplicar la identidad $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión original: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1))(\sqrt{9x^2 + ax + 1} + (3x - 1))}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + (3x - 1)}$$ En el numerador aplicamos la diferencia de cuadrados: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{9x^2 + ax + 1})^2 - (3x - 1)^2}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x - 1}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(9x^2 + ax + 1) - (9x^2 - 6x + 1)}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x - 1}$$ Simplificamos el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{9x^2 + ax + 1 - 9x^2 + 6x - 1}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(a + 6)x}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + 3x - 1}$$

Para resolver este límite de funciones racionales (con radicales) al infinito, dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ del denominador, que es $x^1$ (dentro de la raíz es $x^2$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{(a+6)x}{x}}{\sqrt{\frac{9x^2}{x^2} + \frac{ax}{x^2} + \frac{1}{x^2}} + \frac{3x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a+6}{\sqrt{9 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 3 - \frac{1}{x}}$$ Al tender $x$ a infinito, los términos $\frac{a}{x}$ y $\frac{1}{x^2}$ tienden a 0: $$\frac{a + 6}{\sqrt{9} + 3} = \frac{a + 6}{3 + 3} = \frac{a + 6}{6}$$ Como el enunciado indica que el límite debe valer $2$, igualamos: $$\frac{a + 6}{6} = 2 \implies a + 6 = 12 \implies a = 6$$ ✅ **Resultado del primer apartado:** $$\boxed{a = 6}$$

**(ii) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x + a}{3x - 1} \right)^x = e$.** Analizamos la base y el exponente por separado: - Base: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + a}{3x - 1} = \frac{3}{3} = 1$ - Exponente: $\lim_{x \to \infty} x = \infty$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^\infty$ se resuelven mediante la fórmula: $$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to \infty} g(x)[f(x) - 1]}$$

Calculamos el límite del exponente de la base $e$: $$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{3x + a}{3x - 1} - 1 \right)$$ Operamos dentro del paréntesis: $$\frac{3x + a - (3x - 1)}{3x - 1} = \frac{3x + a - 3x + 1}{3x - 1} = \frac{a + 1}{3x - 1}$$ Ahora calculamos el límite completo: $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{a + 1}{3x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(a + 1)x}{3x - 1}$$ Como es un cociente de polinomios de igual grado (grado 1), el límite es el cociente de sus coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{(a + 1)x}{3x - 1} = \frac{a + 1}{3}$$

Igualamos el resultado obtenido al exponente del valor dado en el enunciado ($e = e^1$): $$e^{\frac{a + 1}{3}} = e^1$$ Por tanto: $$\frac{a + 1}{3} = 1$$ $$a + 1 = 3 \implies a = 2$$ ✅ **Resultado del segundo apartado:** $$\boxed{a = 2}$$