Área de la región bajo la curva x sen x

Para calcular el área, primero necesitamos encontrar el valor de $b$, que es el menor valor positivo donde la función corta al eje $X$ (eje de abscisas). Planteamos la ecuación $g(x) = 0$: $$x \text{ sen } x = 0$$ Esta ecuación se cumple si: 1. $x = 0$ (límite inferior dado). 2. $\text{ sen } x = 0$. Los valores que anulan el seno son $x = k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$. El menor valor $b > 0$ ocurre para $k = 1$: $$b = \pi$$ Por tanto, el intervalo de integración es $[0, \pi]$. $$\boxed{b = \pi}$$

El área de la región viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función: $$A = \int_{0}^{\pi} |x \text{ sen } x| \, dx$$ Analizamos el signo de $g(x) = x \text{ sen } x$ en el intervalo $(0, \pi)$: - En este intervalo, $x$ es siempre positivo. - La función $\text{ sen } x$ es positiva en el primer y segundo cuadrante, es decir, para $x \in (0, \pi)$. Como ambos factores son positivos, $g(x) > 0$ en todo el intervalo y podemos prescindir del valor absoluto: $$A = \int_{0}^{\pi} x \text{ sen } x \, dx$$

Calculamos primero la integral indefinida $\int x \text{ sen } x \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es ALPES (donde P es Polinómica y S es Senoidal). Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \text{ sen } x \, dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \text{ sen } x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$$ $$\int x \text{ sen } x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$$ $$\int x \text{ sen } x \, dx = -x \cos x + \text{ sen } x + C$$ $$\boxed{G(x) = \text{ sen } x - x \cos x}$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[0, \pi]$ utilizando la primitiva hallada: $$A = \left[ \text{ sen } x - x \cos x \right]_{0}^{\pi}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = \pi$: $G(\pi) = \text{ sen } \pi - \pi \cos \pi = 0 - \pi(-1) = \pi$ - Para $x = 0$: $G(0) = \text{ sen } 0 - 0 \cos 0 = 0 - 0 = 0$ Calculamos la diferencia: $$A = G(\pi) - G(0) = \pi - 0 = \pi$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \pi \text{ unidades}^2}$$