Rectas tangentes desde un punto exterior

**(i) Halla los puntos de la curva en los que la recta tangente a ésta pase por el punto $(0, 0)$.** Sea $a$ la abscisa de un punto genérico de la curva $P(a, f(a))$. La ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Primero, calculamos la función derivada de $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 4$: $$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 2x + 4 = \frac{1}{2}x + 4$$ Evaluamos la función y su derivada en el punto genérico $a$: - $f(a) = \frac{1}{4}a^2 + 4a + 4$ - $f'(a) = \frac{1}{2}a + 4$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en dicho punto ($m = f'(a)$).

Sustituimos las expresiones de $f(a)$ y $f'(a)$ en la ecuación de la recta tangente: $$y - \left( \frac{1}{4}a^2 + 4a + 4 \right) = \left( \frac{1}{2}a + 4 \right)(x - a)$$ El enunciado nos indica que estas rectas deben pasar por el punto $(0, 0)$. Por tanto, sustituimos $x = 0$ e $y = 0$ en la ecuación anterior para hallar los posibles valores de $a$: $$0 - \left( \frac{1}{4}a^2 + 4a + 4 \right) = \left( \frac{1}{2}a + 4 \right)(0 - a)$$ Operamos para simplificar la ecuación: $$-\frac{1}{4}a^2 - 4a - 4 = -\frac{1}{2}a^2 - 4a$$ Sumamos $4a$ en ambos lados y agrupamos los términos con $a^2$: $$\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4}a^2 = 4$$ $$\frac{1}{4}a^2 = 4 \implies a^2 = 16$$ Esto nos da dos posibles valores para la abscisa del punto de tangencia: $$a_1 = 4, \quad a_2 = -4$$

Para hallar los puntos completos de la curva, calculamos la ordenada $f(a)$ para cada valor hallado: **Para $a_1 = 4$:** $$f(4) = \frac{1}{4}(4)^2 + 4(4) + 4 = \frac{16}{4} + 16 + 4 = 4 + 16 + 4 = 24$$ El primer punto es **$P_1(4, 24)$**. **Para $a_2 = -4$:** $$f(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + 4(-4) + 4 = \frac{16}{4} - 16 + 4 = 4 - 16 + 4 = -8$$ El segundo punto es **$P_2(-4, -8)$**. ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{P_1(4, 24) \text{ y } P_2(-4, -8)}$$

**(ii) Da las ecuciones de las rectas tangentes.** Como sabemos que ambas rectas pasan por el punto $(0,0)$, su ecuación será de la forma $y = mx$, donde la pendiente $m$ es $f'(a)$. **Recta 1 (en $a = 4$):** La pendiente es $m_1 = f'(4) = \frac{1}{2}(4) + 4 = 2 + 4 = 6$. Ecuación: $y - 0 = 6(x - 0) \implies y = 6x$. **Recta 2 (en $a = -4$):** La pendiente es $m_2 = f'(-4) = \frac{1}{2}(-4) + 4 = -2 + 4 = 2$. Ecuación: $y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x$. 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que los puntos hallados en el apartado anterior cumplen la ecuación de la recta para asegurar que el cálculo es correcto. ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{r_1: y = 6x, \quad r_2: y = 2x}$$