Probabilidad en una distribución normal de presión arterial

Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la presión arterial sistólica de los adolescentes. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(120, 12)$$ Donde la media es $\mu = 120$ y la desviación típica es $\sigma = 12$. Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 120}{12}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$, que recogen las probabilidades acumuladas hasta un valor determinado $P(Z \le k)$.

**(i) la probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132;** Buscamos $P(X \gt 132)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 132) = P\left(Z \gt \frac{132 - 120}{12}\right) = P\left(Z \gt \frac{12}{12}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal suelen dar la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le k)$), usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor para $Z = 1$ es $0,8413$: $$P(X \gt 132) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{P(X \gt 132) = 0,1587}$$

**(ii) la probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144.** Buscamos $P(96 \le X \le 144)$. Tipificamos ambos extremos: $$P(96 \le X \le 144) = P\left(\frac{96 - 120}{12} \le Z \le \frac{144 - 120}{12}\right)$$ $$P\left(\frac{-24}{12} \le Z \le \frac{24}{12}\right) = P(-2 \le Z \le 2)$$ Calculamos esta probabilidad como la diferencia de las acumuladas: $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -2) = P(Z \ge 2) = 1 - P(Z \le 2)$. Por tanto: $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - [1 - P(Z \le 2)] = 2 \cdot P(Z \le 2) - 1$$ Buscamos el valor en la tabla para $Z = 2$, que es $0,9772$: $$2 \cdot 0,9772 - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad central en el intervalo $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ siempre es aproximadamente del $95,44\%$. ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{P(96 \le X \le 144) = 0,9544}$$