Dependencia e independencia de sucesos

Para estudiar la dependencia o independencia de dos sucesos $A$ y $B$, debemos recurrir a la definición fundamental. Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Si esta igualdad no se cumple, decimos que los sucesos son **dependientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de verlo es a través de la probabilidad condicionada: son independientes si $P(A|B) = P(A)$ o $P(B|A) = P(B)$, es decir, que la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro.

**(i) $A$ y $B$ son incompatibles y ámbos sucesos de probabilidad no nula.** Si dos sucesos son **incompatibles**, por definición, su intersección es el suceso vacío: $$A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$$ Por otro lado, el enunciado indica que ambos tienen **probabilidad no nula**: $$P(A) \neq 0 \quad \text{y} \quad P(B) \neq 0$$ Esto implica que el producto de sus probabilidades es necesariamente mayor que cero: $$P(A) \cdot P(B) > 0$$ Comparamos ambos términos de la condición de independencia: 1. $P(A \cap B) = 0$ 2. $P(A) \cdot P(B) \neq 0$ Como $0 \neq P(A) \cdot P(B)$, se concluye que $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son dependientes}}$$

**(ii) $B$ está incluido en $A$, y $B$ es un suceso de probabilidad no nula.** Si $B$ está incluido en $A$ ($B \subset A$), entonces la intersección de ambos es el propio suceso $B$: $$A \cap B = B \implies P(A \cap B) = P(B)$$ Para que los sucesos sean independientes, debe cumplirse: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Sustituyendo el valor de la intersección que acabamos de hallar: $$P(B) = P(A) \cdot P(B)$$ Como el enunciado indica que $P(B) \neq 0$, podemos simplificar la expresión dividiendo ambos lados entre $P(B)$: $$\frac{P(B)}{P(B)} = P(A) \implies 1 = P(A)$$ Esto significa que solo serían independientes en el caso particular de que $A$ fuera el **suceso seguro** ($P(A) = 1$). En cualquier otro caso (si $P(A) < 1$), los sucesos serán dependientes. 💡 **Tip:** Si ocurre $B$, y sabemos que $B \subset A$, la probabilidad de que ocurra $A$ pasa a ser 1. Como la probabilidad original $P(A)$ suele ser menor que 1, la información de que ha ocurrido $B$ altera la probabilidad de $A$, lo que implica dependencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son dependientes (salvo en el caso trivial en que } P(A)=1)}$$