Estudio de la posición relativa de dos rectas con parámetro

Para estudiar la posición relativa de dos rectas, lo más eficiente es analizar el sistema de ecuaciones formado por los planos que las definen. La recta $r$ ya viene dada como intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} ax + 3y - 2z = 12 \\ 2x + 5y - z = 6 \end{cases}$$ La recta $s$ viene dada en paramétricas. Para obtener su forma implícita (como intersección de dos planos), eliminamos el parámetro $\lambda$: $$\lambda = \frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-6}{4}$$ De la primera igualdad: $$-(x-5) = 3(y-1) \implies -x + 5 = 3y - 3 \implies x + 3y = 8$$ De la segunda igualdad: $$4(y-1) = -(z-6) \implies 4y - 4 = -z + 6 \implies 4y + z = 10$$ Así, el sistema que define la posición relativa de $r$ y $s$ es: $$\begin{cases} ax + 3y - 2z = 12 \\ 2x + 5y - z = 6 \\ x + 3y = 8 \\ 4y + z = 10 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, secantes (se cortan) o cruzarse. El rango de las matrices del sistema determinará cada caso.

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^*$ a la matriz ampliada del sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas: $$M = \begin{pmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} a & 3 & -2 & 12 \\ 2 & 5 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 1 & 10 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $M^*$ para ver cuándo el sistema tiene solución. Desarrollamos por la tercera fila (que tiene un cero): $$|M^*| = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 12 \\ 5 & -1 & 6 \\ 4 & 1 & 10 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & -2 & 12 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 10 \end{vmatrix} + 8 \cdot (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los menores de orden 3 por Sarrus: 1. $\begin{vmatrix} 3 & -2 & 12 \\ 5 & -1 & 6 \\ 4 & 1 & 10 \end{vmatrix} = (-30 - 48 + 60) - (-48 + 18 - 100) = -18 - (-130) = 112$ 2. $\begin{vmatrix} a & -2 & 12 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 10 \end{vmatrix} = (-10a + 0 + 24) - (0 + 6a - 40) = -16a + 64$ 3. $\begin{vmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (5a + 0 - 16) - (0 - 4a + 6) = 9a - 22$ Sustituimos: $$|M^*| = 1(112) - 3(-16a + 64) - 8(9a - 22) = 112 + 48a - 192 - 72a + 176 = -24a + 96$$

Antes de discutir según $a$, veamos el rango de $M$. Buscamos un menor de orden 3 distinto de cero que no dependa de $a$. Tomamos las filas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (6 + 0 - 4) - (0 + 0 + 5) = 2 - 5 = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, **rango($M$) = 3** para cualquier valor de $a$. Esto implica que las rectas **nunca pueden ser paralelas ni coincidentes**, ya que para ello el rango de $M$ debería ser 2.

Analizamos los casos para el determinante $|M^*| = -24a + 96$: **Caso 1: $a \neq 4$** Si $a \neq 4$, entonces $|M^*| \neq 0$. - Rango($M$) = 3 - Rango($M^*$) = 4 Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **incompatible** (no hay puntos comunes). Al ser el rango de $M$ igual a 3, las direcciones no son paralelas. Por tanto, **las rectas se cruzan**. **Caso 2: $a = 4$** Si $a = 4$, entonces $|M^*| = 0$. - Rango($M$) = 3 - Rango($M^*$) = 3 El sistema es **compatible determinado**. Existe un único punto de intersección. Por tanto, **las rectas se cortan en un punto**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a = 4, \text{ las rectas se cortan.} \\ \text{Si } a \neq 4, \text{ las rectas se cruzan.} \end{cases}}$$