Posición relativa de recta y plano con parámetro

Para estudiar la posición relativa de una recta $r$ (definida por la intersección de dos planos) y un plano $\pi$, debemos analizar el sistema de tres ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de la recta y la del plano: $$\begin{cases} ax + 3y - 2z = 4 \\ 2x - y + z = 2 \\ 6x + 5y - 3z = 2 \end{cases}$$ Llamamos $A$ a la matriz de coeficientes y $A^*$ a la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 3 & -2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 6 & 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El estudio de la posición relativa se reduce a discutir este sistema mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**. - Si el sistema es Compatible Determinado ($rg(A)=rg(A^*)=3$), la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un punto). - Si el sistema es Incompatible ($rg(A)=2, rg(A^*)=3$), la recta y el plano son **paralelos**. - Si el sistema es Compatible Indeterminado ($rg(A)=rg(A^*)=2$), la recta está **contenida** en el plano.

Calculamos el determinante de $A$ en función del parámetro $a$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot (-1) \cdot (-3) + 3 \cdot 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 2 \cdot 5] - [(-2) \cdot (-1) \cdot 6 + 3 \cdot 2 \cdot (-3) + a \cdot 1 \cdot 5]$$ $$|A| = [3a + 18 - 20] - [12 - 18 + 5a]$$ $$|A| = (3a - 2) - (5a - 6) = 3a - 2 - 5a + 6 = -2a + 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2a + 4 = 0 \implies 2a = 4 \implies a = 2$$

Si $a \neq 2$, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies rg(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (ya que solo tiene 3 filas), tenemos: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que existe una única solución $(x, y, z)$, que representa el punto de intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, \text{ la recta y el plano son secantes (se cortan en un punto).}}$$

Si $a = 2$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ sustituyendo el valor: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 6 & 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ **Rango de A:** Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 6 & 5 \end{vmatrix} = 10 - (-6) = 16 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ **Rango de A*:** Calculamos el determinante de un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & 2 \end{vmatrix} = [3 \cdot 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) \cdot (-3)] - [4 \cdot 1 \cdot 5 + (-2) \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot (-3)]$$ $$= [6 - 20 + 12] - [20 + 4 - 18] = [-2] - [6] = -8 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $rg(A^*) = 3$. Dado que $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ la recta y el plano son paralelos.}}$$