Resolución de ecuación matricial de tercer orden

**6.- (2 puntos) Resuelve la siguiente ecuación matricial:** $$\mathbf{\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ Llamamos $A$ a la matriz de coeficientes y $B$ a la matriz de términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La ecuación tiene la forma $A \cdot X = B$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A$ (si existe): $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Como la matriz $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer también a la izquierda de $B$.

Para comprobar si la matriz $A$ es invertible, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (5 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 \cdot 1) - (3 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 \cdot 0)$$ $$|A| = (0 + 6 + 0) - (0 + 5 + 0) = 6 - 5 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y **existe su matriz inversa $A^{-1}$**. ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{|A| = 1}$$

La matriz inversa se calcula como $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Primero calculamos los adjuntos de cada elemento: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(-3) = 3$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(5-6) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -5$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \end{pmatrix}$$ Trasponemos y dividimos por $|A|=1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa se halla trasponiendo la matriz de adjuntos. Asegúrate de alternar correctamente los signos (+, -, +, ...) al calcular cada adjunto.

Finalmente, calculamos $X$ realizando el producto $A^{-1} \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Fila 1: $(-1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot 0 = 0), (-1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 2\cdot 0 = -1), (-1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2)$ - Fila 2: $(3\cdot 0 + 0\cdot 1 - 5\cdot 0 = 0), (3\cdot 1 + 0\cdot 0 - 5\cdot 0 = 3), (3\cdot 0 + 0\cdot 0 - 5\cdot 1 = -5)$ - Fila 3: $(0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1), (0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0), (0\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0)$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$