Cálculo de un determinante sin desarrollar

Para simplificar el determinante, observamos que todos los elementos de la primera columna ($C_1$) son múltiplos de 2. Utilizamos la propiedad: **Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de un determinante se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.** En sentido inverso, podemos extraer factores comunes fuera del determinante: $$\begin{vmatrix} 2 & b & c + a \\ 2 & a & b + c \\ 2 & c & a + b \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c + a \\ 1 & a & b + c \\ 1 & c & a + b \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable buscar factores comunes en filas o columnas para trabajar con números más sencillos (como el 1).

A continuación, buscamos una relación entre las columnas restantes. Observamos que si sumamos los elementos de la segunda columna ($C_2$) a la tercera columna ($C_3$), obtendremos en cada posición la suma $a + b + c$. Utilizamos la propiedad: **El valor de un determinante no varía si a una columna se le suma otra columna multiplicada por un número (en este caso, multiplicada por 1).** Realizamos la operación $C_3 \to C_3 + C_2$: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c + a \\ 1 & a & b + c \\ 1 & c & a + b \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c + a + b \\ 1 & a & b + c + a \\ 1 & c & a + b + c \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & a + b + c \\ 1 & a & a + b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ejercicios de determinantes con letras, sumar filas o columnas suele revelar factores comunes como $(a+b+c)$ o similares.

Ahora, todos los elementos de la tercera columna ($C_3$) son iguales a $(a + b + c)$. Aplicamos de nuevo la propiedad de extracción de factores comunes: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & a + b + c \\ 1 & a & a + b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{vmatrix} = 2(a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}$$ Este paso nos deja un determinante muy simplificado donde se aprecia una relación clara entre sus columnas.

Observamos que en el determinante resultante, la primera columna ($C_1$) y la tercera columna ($C_3$) son idénticas: $$C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad C_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Utilizamos la propiedad: **Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, su valor es cero.** Por lo tanto: $$2(a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix} = 2(a + b + c) \cdot 0 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{0}$$ 💡 **Tip:** En la mayoría de ejercicios donde piden calcular un determinante "sin desarrollar", el resultado suele ser cero o un valor que depende de otro determinante conocido aplicando propiedades.