Discusión y resolución de un sistema de 4 ecuaciones

**Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$. Identificamos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) con los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a & 8 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Notamos que $A$ es una matriz de dimensiones $4 \times 3$, por lo que su rango máximo es $3$. Por su parte, $A^*$ es una matriz $4 \times 4$, por lo que su rango máximo es $4$.

Para calcular el rango de $A$, buscamos un menor de orden 3 que no dependa de $a$. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las filas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[(-1) + (-1) + (-2)] - [(-1) + 1 + 2] = [-4] - [2] = -6 \neq 0.$$ Como hemos encontrado un determinante de orden 3 distinto de cero, concluimos que el rango de la matriz de coeficientes es constante independientemente del valor de $a$: $$\text{rg}(A) = 3 \quad \forall a \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz tiene más filas que columnas, su rango máximo es el número de columnas. Siempre es útil buscar menores que no contengan el parámetro para fijar el rango inferior.

Como $A^*$ es una matriz cuadrada de orden 4, su rango será 4 si su determinante es distinto de cero. Vamos a calcular $|A^*|$ realizando transformaciones elementales por filas para hacer ceros en la primera columna: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a & 8 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Realizamos las operaciones $F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - 2F_1$ y $F_4 \to F_4 - F_1$: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a-1 & 6 \\ 0 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna y simplificamos la segunda fila del determinante resultante (dividiendo entre $-3$ para facilitar el cálculo): $$|A^*| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a-1 & 6 \\ -3 & -3 & -3 \\ -2 & 0 & -4 \end{vmatrix} = (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & a-1 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -4 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$|A^*| = -3 \cdot \left[ (-4) + (-2(a-1)) + 0 - (-12 + 0 - 4(a-1)) \right]$$ $$|A^*| = -3 \cdot \left[ -4 - 2a + 2 + 12 + 4a - 4 \right] = -3 \cdot (2a + 6) = -6a - 18$$ Buscamos cuándo el determinante es cero: $$-6a - 18 = 0 \implies a = -3$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** comparando los rangos obtenidos: * **Caso $a \neq -3$:** Si $a \neq -3$, entonces $|A^*| \neq 0$, lo que implica que $\text{rg}(A^*) = 4$. Como $\text{rg}(A) = 3 \neq \text{rg}(A^*) = 4$, el sistema es **Incompatible (SI)**. No tiene solución. * **Caso $a = -3$:** Si $a = -3$, entonces $|A^*| = 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) \lt 4$. Dado que ya sabemos que el rango de $A$ es 3 y $A$ está contenida en $A^*$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (igual al número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Tiene solución única. 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Rouché-Capelli nos dice que si los rangos son iguales, el sistema es compatible. Si además igualan al número de incógnitas, la solución es única.

Para $a = -3$, el sistema es compatible determinado. Podemos utilizar las tres ecuaciones que usamos para el menor de orden 3 no nulo (filas 1, 3 y 4 del sistema original), ya que la segunda es combinación lineal de ellas en este caso: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \quad (E_1) \\ 2x - y - z = 1 \quad (E_3) \\ x - y + z = -2 \quad (E_4) \end{cases}$$ Sumamos $(E_1)$ y $(E_3)$ para eliminar $y$ y $z$: $$(x + y + z) + (2x - y - z) = 2 + 1 \implies 3x = 3 \implies \mathbf{x = 1}$$ Sustituimos $x = 1$ en $(E_1)$ y $(E_4)$: $$\begin{cases} 1 + y + z = 2 \implies y + z = 1 \\ 1 - y + z = -2 \implies -y + z = -3 \end{cases}$$ Sumamos estas dos nuevas ecuaciones: $$(y + z) + (-y + z) = 1 - 3 \implies 2z = -2 \implies \mathbf{z = -1}$$ Finalmente, calculamos $y$ usando $y + z = 1$: $$y + (-1) = 1 \implies \mathbf{y = 2}$$ Comprobamos en la ecuación omitida ($E_2$ con $a = -3$): $$x + 2y - 3z = 1 + 2(2) - 3(-1) = 1 + 4 + 3 = 8$$. Se cumple. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Si } a = -3, \text{ SCD con solución: } x=1, y=2, z=-1}$$