Cálculo de límites: Regla de L'Hôpital e indeterminación 1 al infinito

**(i) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - x}{x - \text{sen } x}$** Evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} (\text{tg } x - x) = \text{tg}(0) - 0 = 0$$ $$\lim_{x \to 0} (x - \text{sen } x) = 0 - \text{sen}(0) = 0$$ Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**. Aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\text{tg } x$ es $1 + \text{tg}^2 x$ o también $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Usaremos $\sec^2 x$ para facilitar los cálculos.

Aplicamos L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - x}{x - \text{sen } x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\text{tg } x - x)}{\frac{d}{dx}(x - \text{sen } x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x}$$ Si volvemos a evaluar en $x = 0$: $$\frac{\sec^2(0) - 1}{1 - \cos(0)} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Sigue siendo indeterminado. Antes de aplicar L'Hôpital de nuevo, simplificamos la expresión usando la identidad trigonométrica $\sec^2 x - 1 = \text{tg}^2 x$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}^2 x}{1 - \cos x}$$

Aplicamos L'Hôpital por segunda vez sobre $\frac{\text{tg}^2 x}{1 - \cos x}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \text{tg } x \cdot \sec^2 x}{\text{sen } x}$$ Para resolver este límite de forma sencilla, expresamos la tangente como seno partido de coseno: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{\text{sen } x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\text{sen } x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \text{sen } x}{\cos^3 x \cdot \text{sen } x}$$ Cancelamos $\text{sen } x$ en el numerador y el denominador (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos^3 x} = \frac{2}{\cos^3(0)} = \frac{2}{1^3} = 2$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{2}$$

**(ii) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1} \right)^{\frac{x^2+1}{x}}$** Primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente cuando $x \to \infty$: - **Base:** $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1} = \frac{4}{4} = 1$ (al ser cociente de polinomios del mismo grado). - **Exponente:** $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x} = \infty$ (el grado del numerador es mayor). Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $1^\infty$, utilizamos la fórmula: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot [f(x) - 1]}$.

Aplicamos la fórmula: $$L = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x} \cdot \left( \frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del paréntesis (la base menos 1): $$\frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1} - 1 = \frac{4x^3 - 6x^2 - (4x^3 - 1)}{4x^3 - 1} = \frac{-6x^2 + 1}{4x^3 - 1}$$ Ahora calculamos el límite del producto del exponente por este resultado: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x} \cdot \frac{-6x^2 + 1}{4x^3 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+1)(-6x^2+1)}{x(4x^3-1)}$$ Multiplicamos los polinomios: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-6x^4 + x^2 - 6x^2 + 1}{4x^4 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-6x^4 - 5x^2 + 1}{4x^4 - x}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 4), el resultado es el cociente de sus coeficientes principales: $$\frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

Una vez obtenido el valor del límite del exponente, lo aplicamos a la base $e$: $$L = e^{-3/2} = \frac{1}{e^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{e^3}}$$ Podemos simplificar el radical extrayendo factores: $$\frac{1}{e\sqrt{e}}$$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{e^{-3/2} = \frac{1}{e\sqrt{e}}}$$