Parámetros en punto de inflexión y recta tangente

Para resolver este ejercicio, debemos identificar las condiciones que nos da el enunciado sobre la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$: 1. **Punto de la curva:** El punto $(x_0, -1)$ pertenece a la curva, por lo que $f(x_0) = -1$. 2. **Punto de inflexión:** En $x = x_0$ hay un punto de inflexión, lo que implica que la segunda derivada se anula en ese punto: $f''(x_0) = 0$. 3. **Pendiente de la recta tangente:** La pendiente de la recta tangente en $x = x_0$ es $1$, lo que significa que la primera derivada evaluada en ese punto es $1$: $f'(x_0) = 1$. Calculamos primero las derivadas de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto.

Utilizamos la condición de punto de inflexión: $f''(x_0) = 0$. Sustituimos $x_0$ en la expresión de la segunda derivada: $$6x_0 + 2a = 0$$ Dividimos por $2$ para simplificar: $$3x_0 + a = 0 \implies a = -3x_0$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia su curvatura. La condición necesaria para funciones doblemente derivables es que $f''(x) = 0$.

Utilizamos la condición de la pendiente: $f'(x_0) = 1$. Sustituimos en la primera derivada: $$3x_0^2 + 2ax_0 + b = 1$$ Como sabemos del paso anterior que $a = -3x_0$, sustituimos $a$ para dejar la ecuación en función de $x_0$ y $b$: $$3x_0^2 + 2(-3x_0)x_0 + b = 1$$ $$3x_0^2 - 6x_0^2 + b = 1$$ $$-3x_0^2 + b = 1 \implies b = 1 + 3x_0^2$$

Utilizamos la condición de que el punto $(x_0, -1)$ pertenece a la gráfica: $f(x_0) = -1$. Sustituimos en la función original: $$x_0^3 + ax_0^2 + bx_0 + 1 = -1$$ Ahora, sustituimos $a = -3x_0$ y $b = 1 + 3x_0^2$ en la ecuación: $$x_0^3 + (-3x_0)x_0^2 + (1 + 3x_0^2)x_0 + 1 = -1$$ $$x_0^3 - 3x_0^3 + x_0 + 3x_0^3 + 2 = 0$$ Simplificando términos: $$x_0^3 + x_0 + 2 = 0$$ Buscamos raíces enteras mediante la regla de Ruffini (probando divisores de 2). Para $x_0 = -1$: $$(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$$ La única raíz real es $x_0 = -1$ (ya que la derivada de esta expresión, $3x_0^2 + 1$, es siempre positiva, indicando que la función es estrictamente creciente). ✅ **Punto de inflexión en:** $$\boxed{x_0 = -1}$$

Con el valor de $x_0 = -1$, calculamos los parámetros finales: Para $a$: $$a = -3x_0 = -3(-1) = 3$$ Para $b$: $$b = 1 + 3x_0^2 = 1 + 3(-1)^2 = 1 + 3 = 4$$ Por tanto, la función es $f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = 4}$$

Finalmente, comprobamos que en $x = -1$ hay realmente un cambio de curvatura estudiando el signo de $f''(x) = 6x + 6$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline f''(x) = 6x + 6 & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en la segunda derivada al pasar por $x = -1$, confirmamos que es un **punto de inflexión**.