Estudio completo de una función racional: asíntotas, monotonía y curvatura

**(i) Halla el dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función $f$, en caso de que existan.** Para hallar el dominio de una función racional, debemos identificar los valores que anulan el denominador: $$(1+x)^2 = 0 \implies 1+x = 0 \implies x = -1.$$ Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el $-1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}$. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Estudiamos el límite cuando $x \to -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3}{(1+x)^2} = \frac{(-1)^3}{0^+} = \frac{-1}{0^+} = -\infty.$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1 \text{ es asíntota vertical}}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{(1+x)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2 + 2x + 1} = \pm\infty.$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Como el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(1+x)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3 + 2x^2 + x} = 1.$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{(1+x)^2} - 1x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - (x^2 + 2x + 1)x}{(1+x)^2}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 - 2x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} = -2.$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es $n$ y el del denominador es $n-1$, siempre hay asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x - 2 \text{ es asíntota oblicua}}$$

**(ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{3x^2(1+x)^2 - x^3 \cdot 2(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{3x^2(1+x) - 2x^3}{(1+x)^3}$$ $$f'(x) = \frac{3x^2 + 3x^3 - 2x^3}{(1+x)^3} = \frac{x^3 + 3x^2}{(1+x)^3} = \frac{x^2(x+3)}{(1+x)^3}.$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$f'(x) = 0 \implies x^2(x+3) = 0 \implies x = 0, \; x = -3.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ teniendo en cuenta los puntos críticos y el punto de discontinuidad $x = -1$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + & 0 & + \\\hline & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \nearrow & \text{P.I.} & \nearrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $(-\infty, -3) \cup (-1, 0) \cup (0, +\infty)$ que se resume en $(-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)$. - **Decrecimiento:** $(-3, -1)$. - **Máximo relativo:** En $x = -3$, $f(-3) = \frac{(-3)^3}{(1-3)^2} = \frac{-27}{4} = -6.75$. El punto es **$(-3, -27/4)$**. - **Mínimo relativo:** No existe (en $x=0$ hay un punto de inflexión horizontal). $$\boxed{\text{Máx: } (-3, -6.75); \quad \text{Crec: } (-\infty, -3) \cup (-1, \infty); \quad \text{Decr: } (-3, -1)}$$

Para la curvatura calculamos $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = \frac{x^3 + 3x^2}{(1+x)^3}$: $$f''(x) = \frac{(3x^2+6x)(1+x)^3 - (x^3+3x^2) \cdot 3(1+x)^2}{(1+x)^6}$$ Simplificamos dividiendo por $(1+x)^2$: $$f''(x) = \frac{(3x^2+6x)(1+x) - 3(x^3+3x^2)}{(1+x)^4} = \frac{3x^3 + 3x^2 + 6x^2 + 6x - 3x^3 - 9x^2}{(1+x)^4} = \frac{6x}{(1+x)^4}.$$ Buscamos puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0.$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f''(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline & \cap & \nexists & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - **Cóncava hacia abajo ($\cap$):** $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$. - **Cóncava hacia arriba ($\cup$):** $(0, +\infty)$. - **Punto de inflexión:** En $x = 0$, $f(0) = 0$. El punto es **$(0, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } (0,0)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^3}{(1+x)^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = -1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y = x - 2", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(-3, -6.75)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "Máximo" }, { "id": "pi", "latex": "(0, 0)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "P. Inflexión" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -15, "top": 5 } } }