Distribución Normal: Pesos de piezas fabricadas

**(a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de una pieza en gramos. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(52, \, 6.5)$$ Para calcular probabilidades, debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 52}{6.5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar cualquier probabilidad de una normal $N(\mu, \sigma)$.

Queremos hallar $P(50 \le X \le 68)$. Aplicamos la tipificación a los límites del intervalo: Para $x_1 = 50$: $z_1 = \dfrac{50 - 52}{6.5} = \dfrac{-2}{6.5} \approx -0.31$ Para $x_2 = 68$: $z_2 = \dfrac{68 - 52}{6.5} = \dfrac{16}{6.5} \approx 2.46$ Por tanto: $$P(50 \le X \le 68) = P(-0.31 \le Z \le 2.46)$$ Calculamos la probabilidad por la propiedad del intervalo: $$P(-0.31 \le Z \le 2.46) = P(Z \le 2.46) - P(Z \le -0.31)$$ Como la tabla solo ofrece valores positivos, aplicamos la simetría para el valor negativo: $$P(Z \le -0.31) = P(Z \ge 0.31) = 1 - P(Z \le 0.31)$$ Sustituimos los valores de la tabla normal estándar: - $P(Z \le 2.46) = 0.9931$ - $P(Z \le 0.31) = 0.6217$ $$P(50 \le X \le 68) = 0.9931 - (1 - 0.6217) = 0.9931 - 0.3783 = 0.6148$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(50 \le X \le 68) = 0.6148}$$

**(b) Si el 30 % de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?** Buscamos un valor $x_0$ tal que la probabilidad de que una pieza pese más que él sea del $30\%$, es decir, $0.30$: $$P(X \gt x_0) = 0.30$$ Tipificamos la expresión para trabajar con la variable $Z$: $$P\left(Z \gt \frac{x_0 - 52}{6.5}\right) = 0.30$$ Como las tablas suelen darnos el área acumulada a la izquierda ($Z \le z$), usamos el suceso complementario: $$1 - P\left(Z \le \frac{x_0 - 52}{6.5}\right) = 0.30 \implies P\left(Z \le \frac{x_0 - 52}{6.5}\right) = 0.70$$ Llamemos $z_0 = \dfrac{x_0 - 52}{6.5}$.

Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z_0$ cuya probabilidad acumulada sea lo más cercana posible a $0.70$: - Para $z = 0.52$, la probabilidad es $0.6985$ - Para $z = 0.53$, la probabilidad es $0.7019$ El valor exacto para $0.70$ está aproximadamente en $z_0 \approx 0.524$ (o $0.525$). Usaremos **$z_0 = 0.524$** por ser más preciso. 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, puedes tomar el más cercano o realizar una interpolación lineal entre los dos valores que lo flanquean.

Ahora deshacemos la tipificación para hallar $x_0$: $$\frac{x_0 - 52}{6.5} = 0.524$$ Despejamos $x_0$: $$x_0 = 0.524 \cdot 6.5 + 52$$ $$x_0 = 3.406 + 52 = 55.406$$ El peso de la pieza es aproximadamente $55.41$ gramos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x_0 = 55.406 \text{ gramos}}$$