Probabilidad con urnas: transferencia de bolas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos y analizamos el proceso de extracción paso a paso. Sean los sucesos: - $T$: Elegir la urna $T$ inicialmente. - $R$: Elegir la urna $R$ inicialmente. - $N_1$: La primera bola extraída es negra. - $B_1$: La primera bola extraída es blanca. - $N_2$: La segunda bola extraída es negra. - $B_2$: La segunda bola extraída es blanca. Como se elige una urna al azar, $P(T) = P(R) = 0,5$. **Análisis de la transferencia:** 1. Si empezamos en $T$, extraemos una bola y la pasamos a $R$. La urna $R$ pasa de tener 10 bolas a tener 11 bolas antes de la segunda extracción. 2. Si empezamos en $R$, extraemos una bola y la pasamos a $T$. La urna $T$ pasa de tener 10 bolas a tener 11 bolas antes de la segunda extracción. Representamos todas las posibilidades en el siguiente árbol: 💡 **Tip:** En experimentos compuestos, la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas. No olvides que al pasar una bola de una urna a otra, el número total de bolas de la segunda aumenta en uno.

**(a) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras.** Este suceso ocurre a través de dos caminos distintos en el árbol: 1. Elegimos $T$, sacamos negra ($N_1$) y luego sacamos negra de $R$ ($N_2$). 2. Elegimos $R$, sacamos negra ($N_1$) y luego sacamos negra de $T$ ($N_2$). $$P(N_1 \cap N_2) = P(T \cap N_1 \cap N_2) + P(R \cap N_1 \cap N_2)$$ Calculamos cada término: - Camino 1: $P(T) \cdot P(N_1|T) \cdot P(N_2|T \cap N_1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{8}{11} = \dfrac{32}{220}$ - Camino 2: $P(R) \cdot P(N_1|R) \cdot P(N_2|R \cap N_1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{5}{11} = \dfrac{35}{220}$ Sumamos las probabilidades: $$P(N_1 \cap N_2) = \frac{32}{220} + \frac{35}{220} = \frac{67}{220}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_1 \cap N_2) = \frac{67}{220} \approx 0,3045}$$

**(b) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas.** Este suceso ocurre a través de los caminos donde ambas extracciones resultan en bola blanca: 1. $T \to B_1 \to B_2$ 2. $R \to B_1 \to B_2$ $$P(B_1 \cap B_2) = P(T \cap B_1 \cap B_2) + P(R \cap B_1 \cap B_2)$$ Calculamos: - Camino 1: $P(T) \cdot P(B_1|T) \cdot P(B_2|T \cap B_1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{11} = \dfrac{24}{220}$ - Camino 2: $P(R) \cdot P(B_1|R) \cdot P(B_2|R \cap B_1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{11} = \dfrac{21}{220}$ Sumamos: $$P(B_1 \cap B_2) = \frac{24}{220} + \frac{21}{220} = \frac{45}{220}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 5: $$\frac{45}{220} = \frac{9}{44}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_1 \cap B_2) = \frac{9}{44} \approx 0,2045}$$

**(c) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.** Este suceso engloba los casos $(N_1 \cap B_2)$ y $(B_1 \cap N_2)$. Podemos sumarlos directamente desde el árbol. $P(\text{distinto color}) = P(N_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap N_2)$ Donde: - $P(N_1 \cap B_2) = P(T \cap N_1 \cap B_2) + P(R \cap N_1 \cap B_2) = \dfrac{12}{220} + \dfrac{42}{220} = \dfrac{54}{220}$ - $P(B_1 \cap N_2) = P(T \cap B_1 \cap N_2) + P(R \cap B_1 \cap N_2) = \dfrac{42}{220} + \dfrac{12}{220} = \dfrac{54}{220}$ Sumando ambos resultados: $$P(\text{distinto color}) = \frac{54}{220} + \frac{54}{220} = \frac{108}{220}$$ Simplificamos dividiendo entre 4: $$\frac{108}{220} = \frac{27}{55}$$ 💡 **Tip:** También podías haberlo calculado como el suceso complementario a que sean del mismo color: $1 - [P(N_1 \cap N_2) + P(B_1 \cap B_2)] = 1 - [67/220 + 45/220] = 1 - 112/220 = 108/220$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{distinto color}) = \frac{27}{55} \approx 0,4909}$$