Análisis 2022 Pais Vasco
Área de un recinto limitado por funciones exponenciales
Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = e^{-x}$ y la recta horizontal $y = e$, y calcula el área de ese recinto.
Paso 1
Identificar los puntos de corte entre las funciones
Para dibujar el recinto y establecer los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde se cortan las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = e^{-x}$ y la recta $y = e$.
1. **Intersección entre $f(x)$ y $g(x)$:**
$$e^x = e^{-x} \implies x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$$
Si $x=0$, entonces $y = e^0 = 1$. El punto de corte es **$(0, 1)$**.
2. **Intersección entre $f(x)$ y $y = e$:**
$$e^x = e \implies e^x = e^1 \implies x = 1$$
El punto de corte es **$(1, e)$**.
3. **Intersección entre $g(x)$ y $y = e$:**
$$e^{-x} = e \implies e^{-x} = e^1 \implies -x = 1 \implies x = -1$$
El punto de corte es **$(-1, e)$**.
💡 **Tip:** Recuerda que para resolver ecuaciones exponenciales sencillas, si las bases son iguales, podemos igualar los exponentes: $a^u = a^v \iff u = v$.
Paso 2
Representación gráfica del recinto
El recinto está limitado superiormente por la recta constante $y=e$ e inferiormente por las curvas $e^x$ (para la parte derecha) y $e^{-x}$ (para la parte izquierda).
Observamos que el recinto es simétrico respecto al eje $Y$ (eje de ordenadas), ya que $f(x)$ y $g(x)$ son reflexiones una de la otra ($g(x) = f(-x)$).
Aquí podemos ver la representación gráfica:
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "f",
"latex": "f(x)=e^x",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "g",
"latex": "g(x)=e^{-x}",
"color": "#7c3aed"
},
{
"id": "recta",
"latex": "y=e",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "reg1",
"latex": "e^{-x} \\le y \\le e \\left\{ -1 \\le x \\le 0 \\right\}",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "reg2",
"latex": "e^{x} \\le y \\le e \\left\{ 0 \\le x \\le 1 \\right\}",
"color": "#93c5fd"
}
],
"bounds": {
"left": -2,
"right": 2,
"bottom": -0.5,
"top": 3.5
}
}
}
Paso 3
Planteamiento de la integral del área
Debido a la simetría del recinto respecto al eje $x=0$, el área total $A$ es el doble del área de la región comprendida entre $x=0$ y $x=1$.
En el intervalo $[0, 1]$, la función superior es $y=e$ y la función inferior es $f(x)=e^x$. Por tanto:
$$A = 2 \cdot \int_{0}^{1} (e - e^x) \, dx$$
Si no usáramos la simetría, tendríamos que sumar dos integrales:
$$A = \int_{-1}^{0} (e - e^{-x}) \, dx + \int_{0}^{1} (e - e^x) \, dx$$
Ambos métodos son correctos, pero la simetría simplifica los cálculos.
💡 **Tip:** El área entre dos funciones $h(x)$ (arriba) y $k(x)$ (abajo) en un intervalo $[a, b]$ se define como $\int_{a}^{b} (h(x) - k(x)) \, dx$.
Paso 4
Cálculo de la integral y aplicación de la Regla de Barrow
Calculamos la integral definida paso a paso:
1. Hallamos la primitiva:
$$\int (e - e^x) \, dx = ex - e^x + C$$
2. Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$:
$$\int_{0}^{1} (e - e^x) \, dx = \left[ ex - e^x \right]_{0}^{1}$$
Evaluamos en el límite superior ($x=1$):
$$(e \cdot 1 - e^1) = e - e = 0$$
Evaluamos en el límite inferior ($x=0$):
$$(e \cdot 0 - e^0) = 0 - 1 = -1$$
Restamos los valores:
$$0 - (-1) = 1$$
3. Multiplicamos por 2 para obtener el área total:
$$A = 2 \cdot 1 = 2 \text{ unidades}^2$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ u}^2}$$