Integral de una función racional con raíces múltiples

Para resolver esta integral racional, el primer paso es descomponer el denominador en factores irreducibles. El denominador es $(x + 1)(x^2 - x - 2)$. Vamos a factorizar el polinomio de segundo grado $x^2 - x - 2$ resolviendo la ecuación: $$x^2 - x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 2$ y $x_2 = -1$. Por tanto, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Sustituimos en el denominador original: $$(x + 1)(x^2 - x - 2) = (x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 2)$$ Observamos que tenemos una raíz real simple ($x = 2$) y una raíz real doble ($x = -1$). 💡 **Tip:** Antes de integrar una función racional, asegúrate de que el grado del numerador sea menor que el del denominador. Si no lo es, primero debes realizar la división polinómica.

Planteamos la descomposición en fracciones simples siguiendo la estructura para raíces múltiples: $$\frac{7x + 13}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{C}{x - 2}$$ Multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $(x + 1)^2(x - 2)$ para obtener la igualdad de los numeradores: $$7x + 13 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 2) + C(x + 1)^2$$ Para hallar los coeficientes $A, B$ y $C$, damos valores estratégicos a $x$: - Si $x = -1$: $$7(-1) + 13 = B(-1 - 2) \implies 6 = -3B \implies \mathbf{B = -2}$$ - Si $x = 2$: $$7(2) + 13 = C(2 + 1)^2 \implies 27 = 9C \implies \mathbf{C = 3}$$ - Si $x = 0$ (usando los valores ya hallados de $B$ y $C$): $$13 = A(1)(-2) + (-2)(-2) + (3)(1)^2$$ $$13 = -2A + 4 + 3 \implies 6 = -2A \implies \mathbf{A = -3}$$ Por tanto, la fracción original se descompone como: $$\frac{7x + 13}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{-3}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^2} + \frac{3}{x - 2}$$

Ahora aplicamos la linealidad de la integral para resolver cada término por separado: $$I = \int \left( \frac{-3}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^2} + \frac{3}{x - 2} \right) dx$$ $$I = -3 \int \frac{1}{x + 1} dx - 2 \int (x + 1)^{-2} dx + 3 \int \frac{1}{x - 2} dx$$ Resolvemos cada integral inmediata: 1. $\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1|$ 2. $\int (x + 1)^{-2} dx = \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x + 1}$ 3. $\int \frac{1}{x - 2} dx = \ln|x - 2|$ Sustituimos y simplificamos: $$I = -3\ln|x + 1| - 2\left( -\frac{1}{x + 1} \right) + 3\ln|x - 2| + K$$ $$I = 3\ln|x - 2| - 3\ln|x + 1| + \frac{2}{x + 1} + K$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$. Podemos agrupar los logaritmos para una expresión más elegante. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = 3\ln\left| \frac{x - 2}{x + 1} \right| + \frac{2}{x + 1} + C}$$