Cálculo de parámetros en una función polinómica

**Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f$ se anule en el punto de abscisa $x = 1$ y las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = 3$ sean paralelas a la recta $y = 2x + 1$.** Primero, traducimos las condiciones dadas en el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **$f$ se anula en $x = 1$**: Esto significa que el punto $(1, 0)$ pertenece a la gráfica de la función, es decir: $$f(1) = 0$$ 2. **Rectas tangentes paralelas a $y = 2x + 1$**: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta $y = 2x + 1$ es $m = 2$. Por tanto, la pendiente de la recta tangente en los puntos indicados debe ser $2$. Como la pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por la derivada en ese punto: $$f'(-1) = 2$$ $$f'(3) = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ es $f'(a)$. Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.

Para aplicar las condiciones de las rectas tangentes, necesitamos calcular la derivada de la función polinómica $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Derivamos término a término: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ 💡 **Tip:** Para derivar un polinomio, recuerda la regla $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ y que la derivada de una constante es cero. $$\boxed{f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B}$$

Utilizamos las condiciones de las derivadas en $x = -1$ y $x = 3$: 1. Para $x = -1$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2A(-1) + B = 2$$ $$3 - 2A + B = 2 \implies -2A + B = -1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 2. Para $x = 3$: $$f'(3) = 3(3)^2 + 2A(3) + B = 2$$ $$27 + 6A + B = 2 \implies 6A + B = -25 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Ahora resolvemos el sistema formado por (1) y (2) restando la primera a la segunda para eliminar $B$: $$(6A + B) - (-2A + B) = -25 - (-1)$$ $$8A = -24 \implies \mathbf{A = -3}$$ Sustituimos $A$ en la Ecuación 1: $$-2(-3) + B = -1 \implies 6 + B = -1 \implies \mathbf{B = -7}$$ $$\boxed{A = -3, \quad B = -7}$$

Por último, utilizamos la condición de que la función se anula en $x = 1$, sustituyendo los valores de $A$ y $B$ ya encontrados: $$f(1) = 1^3 + A(1)^2 + B(1) + C = 0$$ $$1 + (-3) + (-7) + C = 0$$ $$1 - 3 - 7 + C = 0$$ $$-9 + C = 0 \implies \mathbf{C = 9}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = -3, \quad B = -7, \quad C = 9}$$