Estudio de la monotonía y extremos de una función exponencial

**Dada la función $f(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}$, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, primero debemos hallar la derivada de la función. La función $f(x)$ es el producto de un polinomio y una función exponencial compuesta, por lo que aplicamos la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = [ (x-1)^2 ]' \cdot e^{-2x} + (x-1)^2 \cdot [ e^{-2x} ]'$$ Derivamos cada parte: - $[ (x-1)^2 ]' = 2(x-1)$ - $[ e^{-2x} ]' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$ Sustituimos: $$f'(x) = 2(x-1)e^{-2x} + (x-1)^2 (-2e^{-2x})$$ Para facilitar el estudio del signo, factorizamos sacando factor común $2(x-1)e^{-2x}$: $$f'(x) = 2(x-1)e^{-2x} \left[ 1 - (x-1) \right]$$ $$f'(x) = 2(x-1)e^{-2x} (1 - x + 1)$$ $$f'(x) = 2(x-1)e^{-2x} (2 - x)$$ 💡 **Tip:** Mantener la derivada factorizada es fundamental para identificar rápidamente las raíces y estudiar el signo de la función en cada intervalo. $$\boxed{f'(x) = 2(x-1)(2-x)e^{-2x}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es igual a cero ($f'(x) = 0$). $$2(x-1)(2-x)e^{-2x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-2x}$ nunca es nula ($e^{-2x} \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la igualdad solo se cumple si alguno de los factores polinómicos es cero: 1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 2. $2 - x = 0 \implies x = 2$ Los puntos críticos se encuentran en **$x = 1$** y **$x = 2$**.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno. Notamos que $e^{-2x}$ siempre es positivo, por lo que el signo depende de $(x-1)(2-x)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline 2(x-1) & - & 0 & + & + & + \\ (2-x) & + & + & + & 0 & - \\ e^{-2x} & + & + & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Análisis de los intervalos:** - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(1, 2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (1, 2) \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)}$$

A partir del estudio anterior, identificamos los extremos relativos: 1. **Mínimo relativo en $x = 1$**: La función pasa de decrecer a crecer. Calculamos su ordenada: $$f(1) = (1-1)^2 e^{-2(1)} = 0 \cdot e^{-2} = 0$$ 2. **Máximo relativo en $x = 2$**: La función pasa de crecer a decrecer. Calculamos su ordenada: $$f(2) = (2-1)^2 e^{-2(2)} = 1^2 \cdot e^{-4} = e^{-4} = \dfrac{1}{e^4}$$ 💡 **Tip:** Un punto $(a, f(a))$ es un máximo si $f'(x)$ pasa de $+$ a $-$ en $a$, y es un mínimo si pasa de $-$ a $+$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 0) \quad \text{Máximo relativo en } \left(2, \dfrac{1}{e^4}\right)}$$