Simétrico de un punto respecto a un plano con parámetro

Para hallar el punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$, primero debemos trazar una recta $r$ que sea perpendicular a $\pi$ y que pase por el punto $P$. El vector normal del plano $\pi \equiv x + y + 2z = 3$ es: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 2)$$ Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_r$ será el propio vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, 1, 2)$$ Utilizando el punto $P = (1, 2, a)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = a + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano y el vector director de la recta son paralelos (podemos usar el mismo).

El punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$, que llamaremos $M$, es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + 2(a + 2\lambda) = 3$$ Resolvemos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$1 + \lambda + 2 + \lambda + 2a + 4\lambda = 3$$ $$3 + 6\lambda + 2a = 3$$ $$6\lambda = -2a \implies \lambda = -\frac{2a}{6} = -\frac{a}{3}$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -\frac{a}{3}$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $M$: - $x_M = 1 + \left(-\dfrac{a}{3}\right) = 1 - \dfrac{a}{3}$ - $y_M = 2 + \left(-\dfrac{a}{3}\right) = 2 - \dfrac{a}{3}$ - $z_M = a + 2\left(-\dfrac{a}{3}\right) = a - \dfrac{2a}{3} = \dfrac{a}{3}$ Por tanto, el punto de corte (proyección) es: $$\boxed{M = \left(1 - \frac{a}{3}, 2 - \frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une el punto $P$ con su simétrico $P' = (x', y', z')$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos cada coordenada de $P'$: - $x' = 2\left(1 - \dfrac{a}{3}\right) - 1 = 2 - \dfrac{2a}{3} - 1 = 1 - \dfrac{2a}{3}$ - $y' = 2\left(2 - \dfrac{a}{3}\right) - 2 = 4 - \dfrac{2a}{3} - 2 = 2 - \dfrac{2a}{3}$ - $z' = 2\left(\dfrac{a}{3}\right) - a = \dfrac{2a}{3} - a = -\dfrac{a}{3}$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre cumple que $\vec{PP'} = 2\vec{PM}$. Es una forma alternativa de verificar el cálculo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P' = \left(1 - \frac{2a}{3}, 2 - \frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}\right)}$$