Distancia de un punto a un plano y al origen

Como el punto $P$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones paramétricas de dicha recta para algún valor del parámetro $t \in \mathbb{R}$. Por tanto, el punto $P$ tiene la forma: $$P(t, 2t, 0)$$ El origen de coordenadas es el punto: $$O(0, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** Siempre que un punto pertenezca a una recta, es útil expresarlo en función de su parámetro (forma genérica) para reducir el problema a una sola incógnita, en este caso $t$.

La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $P(t, 2t, 0)$ en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + z - 2 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|t + 2t + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|3t - 2|}{\sqrt{3}}$$ $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{|3t - 2|}{\sqrt{3}}}$$

La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $O(x_2, y_2, z_2)$ viene dada por el módulo del vector $\vec{OP}$: $$d(P, O) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$$ Sustituimos $P(t, 2t, 0)$ y $O(0, 0, 0)$: $$d(P, O) = \sqrt{(t - 0)^2 + (2t - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{t^2 + 4t^2} = \sqrt{5t^2}$$ Como $\sqrt{t^2} = |t|$, podemos expresar la distancia como: $$\boxed{d(P, O) = |t|\sqrt{5}}$$

Igualamos ambas distancias según el enunciado: $$d(P, \pi) = d(P, O) \implies \frac{|3t - 2|}{\sqrt{3}} = \sqrt{5t^2}$$ Para eliminar el valor absoluto y la raíz, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$\left(\frac{3t - 2}{\sqrt{3}}\right)^2 = (\sqrt{5t^2})^2 \implies \frac{(3t - 2)^2}{3} = 5t^2$$ Desarrollamos el binomio y despejamos: $$(3t - 2)^2 = 15t^2$$ $$9t^2 - 12t + 4 = 15t^2$$ $$6t^2 + 12t - 4 = 0$$ Dividimos entre 2 para simplificar: $$3t^2 + 6t - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado podemos introducir soluciones ficticias, pero en este caso, como igualamos dos distancias (siempre no negativas), los valores de $t$ obtenidos serán válidos.

Resolvemos $3t^2 + 6t - 2 = 0$ usando la fórmula general: $$t = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 24}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{6}$$ Simplificamos $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$: $$t = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$$ Obtenemos dos valores para $t$: $$t_1 = -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}, \quad t_2 = -1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$$ Como hay dos valores distintos de $t$, existirán dos puntos distintos.

Calculamos las coordenadas de los puntos sustituyendo los valores de $t$ en $P(t, 2t, 0)$: **Para $t_1 = -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}$:** $$P_1 = \left( -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}, \, -2 + \frac{2\sqrt{15}}{3}, \, 0 \right)$$ **Para $t_2 = -1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$:** $$P_2 = \left( -1 - \frac{\sqrt{15}}{3}, \, -2 - \frac{2\sqrt{15}}{3}, \, 0 \right)$$ **Razonamiento sobre la unicidad:** El punto **no es único**, ya que hemos encontrado dos valores reales distintos para el parámetro $t$ que satisfacen la igualdad de las distancias. Geométricamente, esto significa que hay dos posiciones sobre la recta $r$ que equidistan del origen y del plano $\pi$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P = \left( -1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3}, \, -2 \pm \frac{2\sqrt{15}}{3}, \, 0 \right) \text{ (No es único)}}$$