Invertibilidad de una matriz con parámetros e inversa

**(a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $m$. $$|A| = \begin{vmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Utilizamos la regla de Sarrus: $$|A| = [m \cdot (m-2) \cdot 2 + m \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 2] - [0 \cdot (m-2) \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot m + 2 \cdot 1 \cdot m]$$ $$|A| = [2m(m-2) + 0 + 4] - [0 + 0 + 2m]$$ $$|A| = 2m^2 - 4m + 4 - 2m = 2m^2 - 6m + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$ y es singular (no tiene inversa) si $|A| = 0$.

Para hallar los valores de $m$ que hacen que la matriz no tenga inversa, igualamos el determinante a cero: $$2m^2 - 6m + 4 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por $2$: $$m^2 - 3m + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $m_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$ - $m_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ no tiene inversa para } m = 1 \text{ y } m = 2}$$

**(b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m = 0$.** Primero, comprobamos si existe la inversa para $m = 0$. Sustituimos $m=0$ en la expresión del determinante calculada anteriormente: $$|A|_{m=0} = 2(0)^2 - 6(0) + 4 = 4$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, la matriz **sí tiene inversa** para $m=0$. La matriz $A$ para $m=0$ es: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Utilizaremos la fórmula de la matriz adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{adj}(A)]^t$$ 💡 **Tip:** El proceso consiste en: 1) Calcular el determinante, 2) Hallar la matriz de cofactores, 3) Trasponerla y 4) Dividir por el determinante.

Calculamos los adjuntos (cofactores) de cada elemento de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -4 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(-4) = 4 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 4 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta: $$[\text{adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos cada término por el determinante $|A| = 4$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$