Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetro

**Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \alpha & \alpha \\ 2 & \alpha & \alpha & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = (\alpha + \alpha + 2\alpha^2) - (\alpha^2 + \alpha^2 + 2)$$ $$|A| = 2\alpha^2 + 2\alpha - 2\alpha^2 - 2 = 2\alpha - 2$$ *(Nota: Corregimos el cálculo paso a paso)*: $$|A| = (1 \cdot \alpha \cdot 1) + (1 \cdot \alpha \cdot 1) + (2 \cdot \alpha \cdot \alpha) - (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) - (1 \cdot \alpha \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = \alpha + \alpha + 2\alpha^2 - \alpha^2 - \alpha - 2 = \alpha^2 + \alpha - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$$ $$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores **$\alpha = 1$** y **$\alpha = -2$**. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única (SCD) o si debemos analizar rangos (SCI o SI).

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** analizando los rangos según el valor de $\alpha$: 1. **Si $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$**: El determinante $|A| \neq 0$, por lo que el $\text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, el $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$. El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, tiene una única solución. 2. **Si $\alpha = 1$**: La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 3 son iguales. El $\text{rango}(A) \lt 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Como la fila 3 de $A^*$ no añade información (es igual a la F1), $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. 3. **Si $\alpha = -2$**: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rango}(A) = 2$ (pues $|A|=0$ y hay menores de orden 2 no nulos). Calculamos el determinante de una submatriz de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 + 1 + 8) - (4 - 2 + 2) = 7 - 4 = 3 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \alpha \neq 1, -2: \text{SCD} \\ \alpha = 1: \text{SCI} \\ \alpha = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**Resuelve el sistema para $\alpha = -1$ y $\alpha = 1$, si es posible.** Para **$\alpha = 1$**, hemos visto que el sistema es **SCI**. El sistema original se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $y$ y $z$: $$(2x + y + z) - (x + y + z) = 1 - 1 \implies x = 0$$ Sustituyendo $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 + y + z = 1 \implies y = 1 - z$$ Parametrizamos haciendo $z = \lambda$: $$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado para $\alpha = 1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 1-\lambda, \lambda)}$$

Para **$\alpha = -1$**, el sistema es **SCD**. Sustituimos $\alpha = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y - z = -1 & (1) \\ 2x - y - z = 1 & (2) \\ x - y + z = 1 & (3) \end{cases}$$ Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (3): $$(x + y - z) + (x - y + z) = -1 + 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en (2) y (3): $$\begin{cases} -y - z = 1 \\ -y + z = 1 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-y - z) + (-y + z) = 1 + 1 \implies -2y = 2 \implies y = -1$$ Finalmente, de $-y + z = 1$: $$-(-1) + z = 1 \implies 1 + z = 1 \implies z = 0$$ ✅ **Resultado para $\alpha = -1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, -1, 0)}$$