Aproximación de la distribución Binomial por la Normal

Para resolver este problema, primero identificamos la variable aleatoria: $X =$ "Número de hogares que tienen al menos dos coches en una muestra de 50". Se trata de una **distribución Binomial** con parámetros: - $n = 50$ (número de ensayos). - $p = 0.6$ (probabilidad de éxito: tener al menos dos coches). - $q = 1 - p = 0.4$ (probabilidad de fracaso). Entonces, $X \sim B(50, 0.6)$. Dado que $n$ es suficientemente grande, comprobamos si podemos aproximar por una **distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 50 \cdot 0.6 = 30 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 50 \cdot 0.4 = 20 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X'$: - Media: $\mu = n \cdot p = 30$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{50 \cdot 0.6 \cdot 0.4} = \sqrt{12} \approx 3.464$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(30, 3.464)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para aproximar una Binomial por una Normal se deben cumplir las condiciones $np \gt 5$ y $nq \gt 5$.

**(a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?** Nos piden calcular $P(X \ge 20)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \ge 20) = P(X' \ge 19.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P(X' \ge 19.5) = P\left(Z \ge \frac{19.5 - 30}{3.464}\right) = P\left(Z \ge \frac{-10.5}{3.464}\right) \approx P(Z \ge -3.03)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -3.03) = P(Z \le 3.03)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 3.03) = 0.9988$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad suma o resta $0.5$ para abarcar el rectángulo completo de la probabilidad discreta. Para $P(X \ge k)$ usamos $P(X' \ge k - 0.5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 20) = 0.9988}$$

**(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?** Buscamos $P(30 \le X \le 40)$. Aplicamos de nuevo la corrección de continuidad: $$P(30 \le X \le 40) = P(29.5 \le X' \le 40.5)$$ Tipificamos ambos valores: 1. Para $x'_1 = 29.5 \implies z_1 = \frac{29.5 - 30}{3.464} = \frac{-0.5}{3.464} \approx -0.14$ 2. Para $x'_2 = 40.5 \implies z_2 = \frac{40.5 - 30}{3.464} = \frac{10.5}{3.464} \approx 3.03$ La probabilidad es: $$P(-0.14 \le Z \le 3.03) = P(Z \le 3.03) - P(Z \le -0.14)$$ Calculamos $P(Z \le -0.14)$ usando propiedades de la normal: $$P(Z \le -0.14) = 1 - P(Z \le 0.14)$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 3.03) = 0.9988$ - $P(Z \le 0.14) = 0.5557$ Sustituimos: $$0.9988 - (1 - 0.5557) = 0.9988 - 0.4443 = 0.5545$$ 💡 **Tip:** No olvides que $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ para valores negativos en la tabla estándar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(30 \le X \le 40) = 0.5545}$$