Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Urnas y extracciones

**(a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?** Primero definimos los sucesos del experimento: - $S$: Elegir la urna $S$. - $T$: Elegir la urna $T$. - $N$: Extraer dos bolas negras. Sabemos que la elección de la urna es al azar, por lo que $P(S) = P(T) = \frac{1}{2} = 0,5$. Calculamos las probabilidades condicionadas de extraer dos negras de cada urna (extracción sin reemplazo): - Urna $S$ (5B, 3N, Total 8): $P(N|S) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$ - Urna $T$ (6B, 4N, Total 10): $P(N|T) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Al extraer dos bolas de una urna sin devolución, la probabilidad se calcula multiplicando la probabilidad de que la primera sea negra por la probabilidad de que la segunda sea negra habiendo sacado ya una negra.

Para hallar la probabilidad total de extraer dos bolas negras $P(N)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(N) = P(S) \cdot P(N|S) + P(T) \cdot P(N|T)$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{28} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15}$$ $$P(N) = \frac{3}{56} + \frac{1}{15}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo para sumar las fracciones (m.c.m de 56 y 15 es 840): $$P(N) = \frac{3 \cdot 15}{840} + \frac{1 \cdot 56}{840} = \frac{45 + 56}{840} = \frac{101}{840}$$ El resultado en decimal es aproximadamente $0,1202$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(N) = \frac{101}{840} \approx 0,1202}$$

**(b) Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la $T$?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(T|N)$: $$P(T|N) = \frac{P(T) \cdot P(N|T)}{P(N)}$$ Utilizamos los datos obtenidos en los pasos anteriores: - $P(T \cap N) = P(T) \cdot P(N|T) = \frac{1}{15}$ - $P(N) = \frac{101}{840}$ Sustituimos: $$P(T|N) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{101}{840}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{840}{101}$$ Operamos simplificando la fracción: $$P(T|N) = \frac{840}{1515} = \frac{56}{101}$$ El valor decimal es aproximadamente $0,5545$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad. Si conocemos $P(N|T)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(T|N)$ sabiendo el resultado final. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(T|N) = \frac{56}{101} \approx 0,5545}$$