Área del recinto limitado por tres funciones

Para dibujar el recinto y establecer los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde las gráficas se intersecan en el primer cuadrante ($x \gt 0$). 1. **Corte entre $f(x) = x$ y $g(x) = \frac{x}{8}$:** $$x = \frac{x}{8} \implies 8x = x \implies 7x = 0 \implies x = 0$$ Se cortan en el punto **$(0, 0)$**. 2. **Corte entre $f(x) = x$ y $h(x) = \frac{1}{x^2}$:** $$x = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} = 1$$ Se cortan en el punto **$(1, 1)$**. 3. **Corte entre $g(x) = \frac{x}{8}$ y $h(x) = \frac{1}{x^2}$:** $$\frac{x}{8} = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} = 2$$ Se cortan en el punto **$(2, 1/4)$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican dónde cambia la función que limita por arriba el recinto.

El recinto está en el primer cuadrante y limitado por las tres funciones. Observando los puntos de corte: - Desde $x = 0$ hasta $x = 1$, la región está limitada superiormente por $f(x) = x$ e inferiormente por $g(x) = x/8$. - Desde $x = 1$ hasta $x = 2$, la región está limitada superiormente por $h(x) = 1/x^2$ e inferiormente por $g(x) = x/8$. A continuación se presenta la representación gráfica del recinto y las funciones:

El área total $A$ se divide en dos partes debido al cambio de la función superior en $x=1$: $$A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{1}^{2} [h(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituyendo las funciones: $$A = \int_{0}^{1} \left( x - \frac{x}{8} \right) \, dx + \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{x}{8} \right) \, dx$$ Simplificamos la primera integral: $$x - \frac{x}{8} = \frac{7x}{8}$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como la integral de la función 'techo' menos la función 'suelo'.

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} \frac{7x}{8} \, dx = \left[ \frac{7x^2}{16} \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \left( \frac{7(1)^2}{16} \right) - \left( \frac{7(0)^2}{16} \right) = \frac{7}{16} - 0 = \frac{7}{16} \text{ u}^2$$

Calculamos $A_2$ recordando que $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$: $$A_2 = \int_{1}^{2} \left( x^{-2} - \frac{x}{8} \right) \, dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^2}{16} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{x} - \frac{x^2}{16} \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A_2 = \left( -\frac{1}{2} - \frac{2^2}{16} \right) - \left( -\frac{1}{1} - \frac{1^2}{16} \right)$$ $$A_2 = \left( -\frac{1}{2} - \frac{4}{16} \right) - \left( -1 - \frac{1}{16} \right)$$ $$A_2 = \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{17}{16} \right) = \left( -\frac{3}{4} \right) + \frac{17}{16}$$ Para sumar, usamos común denominador $16$: $$A_2 = -\frac{12}{16} + \frac{17}{16} = \frac{5}{16} \text{ u}^2$$

Sumamos ambas partes para obtener el área del recinto solicitado: $$A = A_1 + A_2 = \frac{7}{16} + \frac{5}{16} = \frac{12}{16}$$ Simplificando la fracción dividiendo entre $4$: $$A = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ u}^2}$$