Integral por partes de una función logarítmica

Para resolver la integral de una función logarítmica como $\int \ln(x^2 - 1) \, dx$, el método más adecuado es la **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = \ln(x^2 - 1)$ - $dv = dx$ Ahora calculamos sus diferenciales: - Derivamos $u$: $du = \dfrac{2x}{x^2 - 1} \, dx$ - Integramos $dv$: $v = x$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Al aparecer un logaritmo, este suele ser nuestra $u$.

Sustituimos los términos en la fórmula: $$\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 - 1} \, dx$$ Simplificamos la integral resultante: $$\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 - 1} \, dx$$ Nos queda resolver una integral de una función racional donde el grado del numerador es igual al del denominador.

Para resolver $\int \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} \, dx$, realizamos primero la **división polinómica** ya que el grado del numerador ($2$) no es menor que el del denominador ($2$): $$2x^2 = 2(x^2 - 1) + 2$$ Por tanto: $$\frac{2x^2}{x^2 - 1} = \frac{2(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = 2 + \frac{2}{x^2 - 1}$$ La integral se descompone en: $$\int \frac{2x^2}{x^2 - 1} \, dx = \int 2 \, dx + \int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$$ La primera es inmediata: $\int 2 \, dx = 2x$.

Para calcular $\int \dfrac{2}{x^2 - 1} \, dx$, descomponemos el denominador (identidad notable: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$) en fracciones simples: $$\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$2 = A(x+1) + B(x-1)$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x = 1 \implies 2 = 2A \implies A = 1$ - Si $x = -1 \implies 2 = -2B \implies B = -1$ Entonces: $$\int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = \int \frac{1}{x-1} \, dx - \int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x-1| - \ln|x+1|$$

Retomamos la expresión completa sustituyendo los resultados de las integrales obtenidas: $$\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - \left( 2x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right) + C$$ Distribuimos el signo negativo: $$\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - 2x - \ln|x-1| + \ln|x+1| + C$$ Podemos simplificar usando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - 2x + \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \ln(x^2 - 1) \, dx = x \ln(x^2 - 1) - 2x + \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C}$$