Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**(a) Encuentra los valores de $A$ y $B$ para que $f$ sea derivable en toda la recta real.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Las ramas de la función son polinómicas, por lo que son continuas y derivables en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto de posible conflicto es el salto entre intervalos en $x=1$. Para que $f$ sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. Valor de la función: $f(1) = 1^2 + A(1) = 1 + A$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + Ax) = 1 + A$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (Bx - A) = B - A$. Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$1 + A = B - A \implies 2A - B = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad.

Una vez garantizada la continuidad, para que $f$ sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben ser iguales. Calculamos la derivada de cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + A, & \text{si } x \lt 1, \\ B, & \text{si } x \gt 1. \end{cases}$$ Calculamos los límites de la derivada en $x=1$: 1. Derivada por la izquierda: $f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (2x + A) = 2 + A$. 2. Derivada por la derecha: $f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} (B) = B$. Para que sea derivable, igualamos ambas expresiones: $$2 + A = B \implies A - B = -2$$ 💡 **Tip:** Para funciones definidas a trozos, la derivabilidad en el punto de unión se estudia comparando las derivadas de las ramas siempre que la función sea previamente continua.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($A$ y $B$): $$\begin{cases} 2A - B = -1 \\ A - B = -2 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar $B$: $$(2A - B) - (A - B) = -1 - (-2)$$ $$A = 1$$ Sustituimos $A = 1$ en la segunda ecuación: $$1 - B = -2 \implies B = 3$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{A = 1, \quad B = 3}$$

**(b) Haz la representación gráfica de la función $f$ con los valores de $A$ y $B$ obtenidos en el apartado (a).** Sustituimos $A=1$ y $B=3$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + x, & \text{si } x \le 1, \\ 3x - 1, & \text{si } x \gt 1. \end{cases}$$ Para la representación gráfica: - En $(-\infty, 1]$, la gráfica es una **parábola** con vértice en $x_v = -b/2a = -1/2$. El punto de unión es $f(1) = 2$. - En $(1, +\infty)$, la gráfica es una **recta** con pendiente $3$ que parte del punto $(1, 2)$. Como la función es derivable en $x=1$, la transición entre la parábola y la recta es suave (sin picos). ✅ **Resultado (apartado b):**