Rectas tangentes y estudio de la monotonía

**Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$ que son paralelas a la recta $y = 3x - 2$. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta dada $y = 3x - 2$ es $m = 3$. Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en un punto de abscisa $x$ viene dada por el valor de su derivada en dicho punto, $f'(x)$. Por tanto, debemos encontrar los puntos donde: $$f'(x) = 3$$ Primero, calculamos la derivada de la función: $$f(x) = 2x^3 - 3x + 1 \implies f'(x) = 6x^2 - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales ($m_1 = m_2$). Si fueran perpendiculares, su producto sería $-1$ ($m_1 \cdot m_2 = -1$).

Igualamos la derivada a la pendiente deseada ($m=3$) para hallar los valores de $x$: $$6x^2 - 3 = 3$$ $$6x^2 = 6 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Obtenemos dos puntos críticos para la tangencia: 1. Para $x_1 = 1$: Calculamos su ordenada $f(1) = 2(1)^3 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. El punto es **$P_1(1, 0)$**. 2. Para $x_2 = -1$: Calculamos su ordenada $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$. El punto es **$P_2(-1, 2)$**. 💡 **Tip:** No olvides calcular la coordenada $y$ sustituyendo en la función original $f(x)$, no en la derivada.

Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. **Recta 1 (en $x = 1$):** $$y - 0 = 3(x - 1) \implies y = 3x - 3$$ **Recta 2 (en $x = -1$):** $$y - 2 = 3(x - (-1)) \implies y - 2 = 3(x + 1) \implies y = 3x + 5$$ ✅ **Resultado (rectas tangentes):** $$\boxed{y = 3x - 3 \quad \text{y} \quad y = 3x + 5}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x) = 6x^2 - 3$. Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: $$6x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Los valores aproximados son $x \approx 0.707$ y $x \approx -0.707$. Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $$(-\infty, -\sqrt{2}/2), \quad (-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2), \quad (\sqrt{2}/2, +\infty)$$ 💡 **Tip:** Los intervalos de monotonía se definen en el dominio de la función. Al ser un polinomio, el dominio es toda la recta real $\mathbb{R}$.

Evaluamos el signo de $f'(x) = 6x^2 - 3$ en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ Justificación del signo: - Para $x = -1 \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \implies f'(-1) = 6(-1)^2 - 3 = 3 > 0$. - Para $x = 0 \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \implies f'(0) = 6(0)^2 - 3 = -3 < 0$. - Para $x = 1 \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \implies f'(1) = 6(1)^2 - 3 = 3 > 0$. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{2}/2) \cup (\sqrt{2}/2, +\infty) \\ &\text{Decreciente: } (-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) \end{aligned}}$$