Ecuaciones de la recta y pertenencia de un punto

**Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta:** La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos (forma implícita o continua). Para pasar a ecuaciones paramétricas, necesitamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$. El vector director de la recta se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen: $$\vec{n_1} = (3, 1, 1), \quad \vec{n_2} = (1, -1, 2)$$ Calculamos el producto vectorial paso a paso: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(2 - (-1)) - \mathbf{j}(6 - 1) + \mathbf{k}(-3 - 1)$$ $$\vec{v_r} = (3, -5, -4)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para obtener un punto de la recta, observamos que el sistema de ecuaciones es homogéneo (los términos independientes son cero): $$\begin{cases} 3x + y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases}$$ En un sistema homogéneo, la solución trivial $(0, 0, 0)$ siempre es una solución. Por tanto, la recta pasa por el origen de coordenadas. $$P_r = (0, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** Si el sistema que define la recta no tiene términos independientes, la recta siempre pasa por el origen.

Con el punto $P_r(0, 0, 0)$ y el vector director $\vec{v_r}(3, -5, -4)$, escribimos las ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = 0 + 3\lambda \\ y = 0 - 5\lambda \\ z = 0 - 4\lambda \end{cases}$$ Donde $\lambda \in \mathbb{R}$. Simplificando: ✅ **Resultado (Ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 3\lambda \\ y = -5\lambda \\ z = -4\lambda \end{cases}}$$

**¿Existe algún valor de $s$ tal que el punto $(-3, s, s)$ pertenezca a la recta? Razona la respuesta.** Para que el punto $P(-3, s, s)$ pertenezca a la recta, debe satisfacer las ecuaciones de la misma para un valor de $\lambda$. Sustituimos las coordenadas del punto en las ecuaciones paramétricas: 1) $-3 = 3\lambda \implies \lambda = -1$ Ahora sustituimos este valor de $\lambda = -1$ en las otras dos ecuaciones para ver si existe un valor de $s$ consistente: 2) $s = -5\lambda = -5(-1) \implies s = 5$ 3) $s = -4\lambda = -4(-1) \implies s = 4$ Obtenemos una contradicción, ya que para el mismo punto el valor de $s$ debería ser $5$ y $4$ simultáneamente. También podemos comprobarlo en las ecuaciones implícitas originales: $$\begin{cases} 3(-3) + s + s = 0 \implies -9 + 2s = 0 \implies s = 4.5 \\ (-3) - s + 2s = 0 \implies -3 + s = 0 \implies s = 3 \end{cases}$$ Como $4.5 \neq 3$, no existe ningún valor de $s$ que cumpla ambas condiciones al mismo tiempo. 💡 **Tip:** Para que un punto pertenezca a una recta, debe satisfacer todas sus ecuaciones (sean paramétricas o implícitas). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } s \text{ tal que el punto pertenezca a la recta.}}$$