Cálculo de determinante mediante propiedades

**Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix},$$ sabiendo que $$\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ 2x & 2y & 2z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 6.$$** Partimos de la igualdad dada y aplicamos la propiedad de los determinantes que indica que si todos los elementos de una fila (o columna) están multiplicados por un número, este puede extraerse como factor común del determinante. En la segunda fila ($F_2$), extraemos el factor $2$: $$\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ 2x & 2y & 2z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 6$$ Dividiendo ambos miembros entre $2$, obtenemos: $$\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a diferencia de las matrices (donde el escalar multiplica a todos los elementos), en los determinantes el escalar solo multiplica a una única fila o columna.

Aplicamos la propiedad que establece que el valor de un determinante no varía si a una fila se le suma o resta otra fila paralela (o una combinación lineal de ellas). Restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_2$): $$\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ (p + x) - x & (q + y) - y & (r + z) - z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = 3$$ Esta operación nos permite aislar las variables $p, q, r$ en la tercera fila.

Utilizamos de nuevo la misma propiedad para simplificar la primera fila. En este caso, restamos la tercera fila a la primera ($F_1 \to F_1 - F_3$): $$\begin{vmatrix} (p + a) - p & (q + b) - q & (r + c) - r \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = 3$$ Ahora el determinante contiene exactamente las mismas filas que el determinante que buscamos calcular, pero en un orden diferente. 💡 **Tip:** Las operaciones elementales de fila del tipo $F_i \to F_i + k F_j$ conservan siempre el valor del determinante.

Para obtener el determinante final solicitado, necesitamos que la fila con $(p, q, r)$ sea la segunda y la fila con $(x, y, z)$ sea la tercera. Aplicamos la propiedad: si se intercambian dos filas (o columnas) entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos $F_2$ y $F_3$: $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix}$$ Como sabemos que el determinante antes del intercambio valía $3$, tras el cambio de signo obtenemos: $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-3}$$